Grundlagen

  • Bertram Huppert
Part of the Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 134)

Zusammenfassung

In Kapitel I entwickeln wir zunächst in knapper, aber vollständiger Form die Grundbegriffe der Gruppentheorie (§ 1–4). Diese Paragraphen enthalten zahlreiche elementare Sätze und Hilfssätze, welche später immer wieder herangezogen werden; dies trifft ganz besonders zu für den Produktsatz 2.12 a), die Dedekind-Identität 2.12c), Hilfssatz 2.13 und die Sätze 4.5, 4.8 und 4.9. Die Darstellungen einer Gruppe als Permutationsgruppe (§ 6) liefern als wichtigste Folgerung die grundlegenden Sylowschen Sätze (§ 7). Einige elementare Auf lösbarkeitskriterien werden aus den Sylowschen Sätzen in § 8 hergeleitet werden.

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Literaturbemerkungen zu Kapitel I

  1. 4:.
    Beispiel 4.10 b) haben wir aus Zassenhaus[4] übernommen. Aufgabe 12) findet man durchgeführt in Speiser [2], S. 123. Die Aussage in Aufgabe 14) wurde in neuerer Zeit mehrfach verwandt.Google Scholar
  2. 6:.
    Für die Durchführung von Aufgabe 22) vergleiche man Zassenhaus[4], S. 104 oder die Originalarbeit Wirr [1].Google Scholar
  3. 7:.
    Der elegante Beweis von 7.2 steht in Wielandt [16]. Zwei andere Beweise von 7.3 sind in den Aufgaben 26)–28) und 29)–30) skizziert.Google Scholar
  4. 8:.
    Für die Aufgaben 38) –40) vergleiche man M.Hall[3], S. 136 – 137 und 147.Google Scholar
  5. 9:.
    Die Konstruktion des direkten Produktes mit vereinigten Untergruppen in 9.10 ist geläufig; in der Bezeichnung folge ich hier (und in 9.11) einem Vorschlag von H. Wielandt. Den Hinweis auf die Nützlichkeit von 9.11 verdanke ich P. Roquette (siehe die Anwendung in Roquette [3] und in IV, 4.6). Satz 9.14 ist Rose[1] entnommen, wo zahlreiche weitere Aussagen über die Einbettung der Diagonalen in G X G bewiesen werden.Google Scholar
  6. 13:.
    Die Anlage dieses Paragraphen bis 13.10 ist von Kaplansky[1] stark beeinflußt; die vorgeführte Fassung der Theorie der Moduln über Hauptidealringen hat den Vorzug, daß sie sich ohne große Zusätze auf Moduln über Dedekind-Ringen ausdehnen läßt. Der Beweis von 13.7 folgt einem Vorschlag von J. Rotman. Im Beweis von 13.14 habe ich Verbesserungsvorschläge von N. Blackburn verwendet.Google Scholar
  7. 14:.
    Die Erweiterungstheorie wurde von O. Schreier in Schreier[1] entwickelt. Aufgabe 59) folgt der Methode aus Hofmann, Mostert [1].Google Scholar
  8. 15:.
    Die Kranzprodukte sind in den letzten Jahren vielfach zur Konstruktion von endlichen und unendlichen Gruppen verwandt worden; siehe etwa P.Hall [17]. Das verschränkte Kranzprodukt aus 15.10 stammt aus B. H. Neumann [3].Google Scholar
  9. 16:.
    Hauptsatz 16.18 steht bei Eckmann [1].Google Scholar
  10. 17:.
    Aufgabe 63) stammt aus einer Vorlesung von H. Wielandt.Google Scholar
  11. 18:.
    Der Beweis von 18.4 folgt P. Hall [14]. Zu 18.6 vergleiche man auch Wielandt[18].Google Scholar
  12. 19:.
    Die Aussage von 19.6 spielt eine Rolle in FEIT,Thompson [2].Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967

Authors and Affiliations

  • Bertram Huppert
    • 1
  1. 1.Fachbereich MathematikUniversität MainzMainzDeutschland

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