Die Methode der kleinsten Quadrate

Zusammenfassung

Von der Astronomie und Geodäsie her ist GAuss auf das folgende Problem gekommen: Die wahren Werte ϑ₁…, ϑ_r irgendwelcher physikalischer Konstanten (z.B. die Bahnelemente eines Planeten) seien unbekannt. Man habe nicht die Größen ϑ₁…, ϑ_r selber beobachtet, sondern andere Größen x₁,…,x _n (z.B. die Koordinaten der Planetenörter zu verschiedenen Zeiten, von der Erde aus gesehen), deren wahre Werte ξ₁,…,ξ _n in bestimmter Weise von ϑ₁…, ϑ_r abhängen:

$$ {\varepsilon _i} = {\varphi _i}\left( {{\vartheta _1},...,{\vartheta _r}} \right) $$

((1))

Welche Werte der Parameter ϑ _i sind am besten in Übereinstimmung mit den Beobachtungen x₁,…, x _n ? Schon LAgrange hat den Vorschlag gemacht, die,,beste Überein-stimmung“dadurch zu definieren, daß die Summe der Fehlerquadrate

$$ Q = {\left( {{x_1} - {\varepsilon _1}} \right)^2} + \cdots + {\left( {{x_n} - {\varepsilon _n}} \right)^2} $$

((2))

zum Minimum gemacht wird. GAuss hat diesen Ansatz wahrscheinlichkeitstheoretisch begründet, indem er bemerkt, daß die Wahrscheinlichkeit, daß die beobachteten Werte x _i zwischen t _i −1/2 δt _i und t _i +1/2 δt _i liegen, nach dem GAussschen Fehlergesetz für kleine δt _i nahezu durch

$$ \delta W = {\sigma ^{ - 2}}{\left( {2\pi } \right)^{ - \frac{n}{2}}}\,\exp \left\{ { - \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{t_1} - {\varepsilon _1}} \right)}^2} + \cdots + {{\left( {{t_n} - {\varepsilon _n}} \right)}^2}}}{{{\sigma ^2}}}} \right\}\delta {t_1} \ldots \delta {t_n} $$

((3))

gegeben ist, sofern keine systematischen Fehler vorhanden sind und alle Beobachtungen dieselbe Streuung σ haben. Diese Wahrscheinlichkeit δW wird bei gegebenen t _i und δt _i am größten für diejenigen £ in der durch (1) definierten Teilmannigfaltigkeit des ξ-Raumes, welche die quadratische Form

$$ {\left( {{t_1} - {\varepsilon _1}} \right)^2} + \cdots + {\left( {{t_n} - {\varepsilon _n}} \right)^2} $$

zum Minimum machen. Setzt man hier für die t _i die beobachteten Werte x _i so erhält man gerade die Form (2). Die,,besten Werte“von ϑ₁…, ϑ_r sind also nach GAuss diejenigen, welche dem beobachteten Ergebnis die größte Wahrscheinlichkeit verleihen.