Das Verhalten der Abbildungsfunktionen am Rande

Zusammenfassung

Wenn die Funktion $\omega = f\left( z \right)$ das Gebiet ℭ auf das Gebiet ℭ* konform abbildet, so ist damit über das Verhalten von $\omega = f\left( z \right)$ auf dem Rande von ℭ, wenn nicht besondere Annahmen über ℭ bzw. ℭ* gemacht werden, zunächst nichts ausgesagt. So kann z. B. f(z) in einen Punkt des Randes von ℭ holomorph fortsetzbar sein oder auch nieht. Dieser letzte Fall tritt tatsachlich ein. Nehmen wir als Gebiet ℭ das Innere des Einheitskreises und als ℭ* ein Gebiet von einfachem Zusammenhang, dessen Randkurve einmal stetig aber nirgends zweimal differenzierbar ist. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Funktion $\omega = f\left( z \right)$, die ℭ konform auf ℭ* abbildet.f(z) kann aber in keinem Punkt z ⁰ des Randes von $|z|{\kern 1pt} \, < 1$ holomorph sein. Sonst gabe es eine Umgebung

. so daß f(z) dort auch holomorph ware. Ein in

gelegenes Stuck des Einheitskreises z = e_iτ, τ₁ ≦ τ ≦ τ² würde dann abgebildet auf w = f(e ^iτ), τ₁ ≦ τ ≦ τ₂ Das ist ein beliebig häufig differenzierbares Kurvenstucℭ welches auf dem Rande von ℭ* liegen müßte, wie wir sogleich sehen werden. Dies ist aber nicht moglich, da der Rand von ℭ* eine nirgends zweimal differenzierbare Kurve sein sollte.