Zusammenfassung
Die Statistik als Zweig der angewandten Mathematik ist die Wissenschaft von Ereignissen, die vom Zufall abhängen. Diese spielen eine entscheidende Rolle bei allen Massenerscheinungen, insbesondere in der modernen Technik und Wirtschaft bei der Erzeugung von Massengütern aller Art, sei es bei industrieller Massenfertigung oder auf land- und forstwirtschaftlichem Gebiet. Sie erobern sich wichtige Zweige der Verkehrs-, Nachrichten- und Versorgungstechnik. Sie interessieren daher in steigendem Maße auch den Ingenieur, der sich mit diesem reizvollen Gebiet der angewandten Mathematik mehr als bisher vertraut machen sollte. Die folgenden Seiten können nur eine kurze Einführung in die wichtigsten Fragestellungen und Methoden geben und sollen dazu dienen, zu einem vertieften Studium statistischer Fragen anzuregen1,2.
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Literatur
Aus einer großen Fülle moderner — heute noch vorwiegend englisch geschriebener — Lehrbücher sei als bescheidene Auswahl angeführt: van der Waerden, B. L.: Mathematische Statistik. Berlin 1957, 360 S. — Fisz, M.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Berlin 1958, 528 S. — Linder, A.: Statistische Methoden. 2. Aufl. Basel 1951, 238 S. — Schmetterer, L.: Einf. i. d. mathematische Statistik. Wien 1956, 440 S. — Hoel, P. G.: Introduction to Mathematical Statistics. 6. Aufl. 1951, 258 S. — Hald, A.: Statistical Theory with Engineering Applications. New York 1952, 783 S. — Cramér, H.: The Elements of Probability Theory. New York 1958, 281 S. — Cramér, H.: Mathematical Methods of Statistics. Princeton 1951, 575 S.
Tafelwerke: Graf, U., u. H.-J. Henning: Formeln und Tabellen der mathematischen Statistik. Berlin 1953, 102 S. — Hald, A.: Statistical Tables and Formulas. New York 1952, 97 S.
Der Buchstabe \( P \) bedeutet probability.
Es gibt auch Zwischenformen, von denen wir hier absehen.
\( {P_k} \) sind die Glieder des Binoms \( {\left( {q\,\, + \,\,P} \right)^n} \).
Im diskreten Falle ist das Integral als sogenanntes Stieltjes-Integral aufzufassen.
Manche Autoren definieren als Stichprobenstreuung die mit Nenner n gebildete Größe, z. B. Cramér, Fisz; siehe Gl. (8) auf S. 279.
Es hat sich vielfach die Regel herausgebildet, Populationsparameter durch griechische Buchstaben (μ, σ), die zugehürigen aus einer Stichprobe ermittelten Schätzwerte durch die entsprechenden lateinischen Buchstaben (m, s) zu kennzeichnen. Für das Stichprobenmittel ist indessen allgemein das Zeichen \( \bar x \) in Gebrauch, was auch wir verwenden, zumal man m noch des öfteren für μ findet. Die Populationsparameter werden auch wohl als die theoretischen, die entsprechenden Schätzwerte als die empirischen Größen (Mittelwert, Streuung usw.) bezeichnet.
Aus H. Gebelein: Zahl und Wirklichkeit. S. 4. Leipzig 1943.
Er kann ausgeglichen werden durch die sogenannte Sheppard-Korrektur s 2 korr = s 2 − h 2/12, deren Nutzen indessen umstritten ist.
Aus H. Gebelein: Zahl und Wirklichkeit. S. 19. Leipzig 1943.
Bei merklicher Abweichung von der Normalverteilung gelingt ein Überführen auf Normalverteilung oft durch eine Variablentransformation \( y\,\, = \,\,g\,\left( x \right) \), z. B. y = log x (sog. logarithmische Normalverteilung).
Student: The probable error of a mean. Biometrika Bd. 6 (1908) S. 1.
Verwenden des gleichen Zeichens \( f \) für Dichtefunktion und Freiheitsgrad führt hier und im folgenden wonl nicht zu Verwechslungen.
Die Integrate existieren nur für \( f\,\, \geqq \,\,2 \) bzw. ≧ 3.
Ausführliche Zahlenwerte solcher Fraktilen findet man in den unter Anm. 2 auf S. 260 angeführten Tafeln.
Helmert, F. R.: Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsumme der Beobachtungsfehler. Z. Math. Phys. Bd. 21 (1876) S. 192–218.
Pearson, K.: Phil. Mag. Ser. V, Bd. 50 (1900) S. 157–175.
Fisher, R. A.: J. Roy. Stat. Soc. Bd. 87 (1924) S. 442–449.
Wir bezeichnen bei s jetzt auch die stochastische Variable mit dem kleinen Buchstaben, um Verwechslung mit der statistischen Sicherheit S zu vermeiden.
Im Schrifttum findet man gewöhnlich \( u\,\, = \,\,\sqrt {2{\chi ^2}} \, - \,\sqrt {2f - 1} \) an Stelle von (21), was jedoch für \( f\,\, > \,\,30 \) eher schlechtere Werte liefert.
Aus P. G. Hoei., S. 187; vgl. Fußnote 1 auf S. 260.
Wald, A.: Sequential Analysis. New York 1957. 212 S.
Vgl. dazu J. W. Linnik: Die Methode der kleinsten Quadrate in moderner Darstellung. Berlin 1961.
In der modernen Statistik ist dieses Prinzip von R. A. Fisher unter dem Namen Maximum Likelihood Methode zur Ermittlung von Schätzwerten für allgemeine Populationsparameter eingeführt worden; vgl. etwa B. L. van der Waerden, Mathematische Statistik, S. 148ff. Berlin 1957.
Gauss hat dem Prinzip auch noch eine andere von der Annahme normalverteilter Grundgesamtheit unabhängige Begründung gegeben; vgl. van der Waerden, S. 124/25.
Sie hatte ihren ersten weithin beachteten Erfolg bei der Bahnberechnung des kleinen Planeten Ceres 1801 durch Gauss aus 41 tägigen Beobachtungen, die sich über nur 9° der Bahn erstreckten. Auf Grund dieser „zur Bewunderung genauen“ Berechnung gelang die Wiederentdeckung des der Sicht entschwundenen Planeten.
Große Buchstaben X, Y,... bedeuten hier nicht stochastische Veränderliche, sondern die eigentlichen Unbekannten, die man in Näherungswerte X 0, Y 0,... und Korrekturen x, y,... aufspaltet, um die Gleichungen linearisieren zu können.
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Zurmühl, R. (1984). Statistik und Ausgleichsrechnung. In: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-62022-5_5
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