Zusammenfassung
Die Gesetze der Fortpflanzung ebener Wellen in homogenen durchsichtigen Körpern, die wir kennengelernt haben, genügen zur näherungsweisen Behandlung solcher Lichtvorgänge, bei denen die Wellenfronten nicht mehr streng, aber nahezu eben sind; „nahezu“ bedeutet dabei, daß die Krümmung der Wellenfläche vernachlässigt werden kann in Bereichen, deren Lineardimensionen groß sind gegen die Wellenlänge.
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Literatur
Siehe A. Sommerfeld u. J. Runge. Ann. Physik (4) Bd. 35 (1911) S. 277. Die in dieser Arbeit entwickelte Methode wird im folgenden mehrfach benutzt.
In der Sprache der Mathematik ist (9) die Gleichung der zur partiellen Differentialgleichung (5) gehörigen Charakteristiken und beschreibt exakt die Fortpflanzung von Unstetigkeiten der Lösungen von (9). Für die geometrische Optik kommt es aber nicht auf Unstetigkeiten an, sondern auf die Phasen periodischer Lösungen; diesen Zusammenhang zeigt unsere Ableitung, die allerdings nicht den Forderungen mathematischer Strenge (Fehlerabschatzung) genügt.
Die Krümmung der Kurve ist gegeben durch |d \(\mathfrak{s}\)|/ds (s. Fig. 16).
Statt dessen kann man dieses Gesetz auch durch Grenzübergang (von einer stetigen Verteilung n zu einem Sprung von n) aus § 14 (10) erhalten, muß dann aber die durchaus nicht selbstverständliche Annahme machen, daß grad L an der Grenze stetig bleibt.
Ähnliche Minimalsätze hat man in vielen Gebieten der Physik zur knappsten Formulierung der Gesetze verwendet, z. B. in der Mechanik das Prinzip der kleinsten Wirkung in seinen mannigfachen Formen. Zur systematischen Behandlung solcher Minimalprobleme dienen die Methoden der Variationsrechnung. Die im folgenden vorkommenden Beweise lassen sich zum Teil auf viel allgemeinere Fälle übertragen.
Siehe etwa W. Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie Bd. 1, 3. §§ 41–44. Berlin 1930.
K. Weierstrass: Math. Werke. Bd. 3 S. 175.
G. B. Amici: Ann. de chim. et phys. (3) Bd. 12 (1844) S. 117.
J. C. Maxwell: Quart. J. pure & appl. Math. Bd. 2 (1858) S. 233; Sci. Pap. Bur. Stand. Bd. 1 S. 271.
H. Bruns: Das Eikonal. Abh. kgl. sächs. Ges. Wiss., math.-phys. Kl. Bd. 21 (1895) S. 370; F. Klein: Z. Math. u. Physik Bd. 46 (1901) S. 376; Ges. Abh. Bd. 2 S. 607; H. Liebmann: Sitzgsber. bayer. Akad. Wiss., Math.-naturw. Abt. 1916 S. 183. Eine zusammenfassende Darstellung bei H. Boegehold in dem Werke: S. Czapski u. O. Eppenstein: Grundzüge der optischen Instrumente nach Abbe, 3. Aufl. S. 213. Leipzig 1924.
C. Carathéodory: Sitzgsber. bayer. Akad. Wiss., Math.-naturw. Abt. 1926 S. 1.
Die Worte Brennpunkt, Brennfläche haben hier in der Geometrie der Abbildung also eine andere Bedeutung als früher bei der Betrachtung optischer Strahlenbüschel, wo sie sich auf den Schnitt benachbarter Strahlen bezogen (Kaustik).
Zum ausführlichen Studium sei verwiesen auf das Werk: S. Czapski u. O. Eppenstein: Grundzüge der Theorie der optischen Instrumente (nach Abbe). 3. Aufl. Leipzig 1924.
Die Gedanken Hamiltons sind für die neueste Entwicklung der Mechanik, die Quantenund Wellenmechanik, geradezu ausschlaggebend geworden.
W. R. Hamilton: Trans. Irish Acad. Bd. 15 (1828) S. 69; Bd. 16 (1830) S. 3, 93; Bd. 17 (1837) S. 1.
H. Bruns: Das Eikonal. Leipziger Sitzgsber. Bd. 21 (1895) S. 321. Als Buch bei S. Hirzel, Leipzig 1895.
F. Klein: Über das Brunssche Eikonal. Z. Math. u. Physik Bd. 46 (1901); Ges. Abh. Bd. 2 S. 603.
K. Schwarzschild: Untersuchungen zur geometrischen Optik. Astron. Mitt. kgl. Sternwarte zu Göttingen, Teil I, II, III (1905). Weitergeführt von A. Kohlschütter: Die Bildfehler 5. Ordnung optischer Systeme. Diss. Göttingen 1908.
Vorausgesetzt ist dabei, daß der Strahl von P 0 nach P 1 in ein Strahlenfeld eingebettet werden kann (s. § 15 S. 51, 52).
C. F. Gauss: Dioptrische Untersuchungen. Abh. kgl. Ges. Wiss. zu Göttingen Bd. 1 (1843); Werke Bd. 5 S. 245.
Das negative Vorzeichen in den Beziehungen (5) hat folgenden Grund: die Grenzwerte von a 0, a 1 bedeuten die in der Richtung der Lichtfortpflanzung positiv gezählten Abstände der Brennpunkte vom Scheitel (Schnittpunkt der Achse mit der Kugel), in den die Hauptpunkte fallen; nach den früheren Definitionen (§ 20) aber sind umgekehrt die Brennweiten als die Abstände der Hauptpunkte von den Brennpunkten erklärt.
Gewöhnlich schreibt man darin alle Glieder mit dem Pluszeichen, indem man nur die Beträge ins Auge faßt.
Siehe etwa Müller-Pouillets Lehrbuch der Physik, 10. Aufl. Bd. 2: Die Lehre von der strahlenden Energie, von Otto Lummer, 3. Kap. Braunschweig 1907.
Die Lehre von der Strahlbegrenzung ist von E. Abbe geschaffen [Jena. Z. Naturwiss. Bd. 6 (1871) S. 263] und von M. v. Rohr vervollkommnet worden [Zentr.-Ztg. Opt. Mech. Bd. 41 (1920) S. 145, 159, 171].
Weitere Literatur in der schon zitierten Abhandlung von A. Kohlschütter: Die Bildfehler 5. Ordnung. usw. Diss. Göttingen 1908.
Der Einfluß der Deformationen b ist von Seidel nicht berücksichtigt, indessen von späteren Autoren hinzugefügt worden (vgl. v. Rohr: Die Bilderzeugung in optischen Instrumental, S. 338. Berlin 1904).
A. Kohlschütter: Inaug.-Diss. Göttingen 1908.
Von den zahlreichen Abhandlungen A. Gullstrands nennen wir nur zwei: 1. Optische Systemgesetze zweiter und dritter Ordnung (Kgl. Svenska Vetenskaps akad. Handl. Bd. 63 Nr 13, Stockholm 1924), und 2. eine gemeinverständliche Übersicht „Einiges über optische Bilder“ [Naturwiss. 14. Jg. (1926) S. 653]. Ausführliche Literaturangaben findet man indem zitierten Werk von Czapski u. Eppenstein.
M. Herzberger: Strahlenoptik. Berlin 1931. In diesem Buch wird Schwarzschild nicht erwähnt, wohl weil er als Astronom nicht der optischen Zunft angehörte.
Siehe z. B. M. v. Rohr: Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten. Berlin 1904; A. König: Geometrische Optik, Leipzig 1929.
Die moderne Theorie des Auges ist am meisten von dem eben genannten Gullstrand gefördert worden. Siehe etwa seine Darstellung in der 3. Auflage des Handbuchs der physiol. Optik von Helmholtz.
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Born, M. (1972). Geometrische Optik. In: Optik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61980-9_3
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