Über eine quasi-periodische Eigenschaft Dirichletscher Reihen mit Anwendung auf die Dirichletschen L-Funktionen

Zusammenfassung

Es sei

$$f(s) = f(\sigma + it) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{{n^s}}}} $$

(1)

eine Dirichletsche Reihe mit der Konvergenzabszisse λ, die also für σ > λ konvergiert, für σ < λ divergiert. Ferner bezeichne Λ (≧ λ) die „gleichmäßige Konvergenzabszisse“ der Reihe (1), d. h. die untere Grenze aller derjenigen Zahlen σ₀, für welche (1) in der ganzen Halbebene σ > σ₀ (und nicht nur in jedem beschränkten Teil dieser Halbebene) gleichmäßig konvergiert. Die Lage dieser letzteren Abszisse Λ läßt sich bekanntlich¹), im Gegensatz zu der Lage der Konvergenzabszisse λ, in der einfachsten Weise aus den analytischen Eigenschaften der durch die Reihe dargestellten Funktion f (s) bestimmen, nämlich durch die Gleichung Λ = Γ, wo Γ die untere Grenze aller Abszissen σ₀ bedeutet, für welche f(s) in der Halbebene σ > σ₀ regulär und beschränkt bleibt.