Zusammenfassung
Um die Lösungsklassen (Klassen proportionaler Lösungen) eines Systems von n homogenen Gleichungen f 1 = 0, …, f n = 0 der Gradzahlen m 1,…, n n , mit n + 1 Unbekannten x 0, …, x n , zu finden, bildet man die „u- Resultante“ des Gleichungssystems, d. h. die Resultante der Formen f 1, …, f n und einer allgemeinen Linearform Σ u k x k . Die u- Resultante hat als Funktion der u i den Grad \( \mathop{{II}}\limits_{1}^{n} {{m}_{i}} \) und zerfällt (in einem geeigneten Erweiterungskörper des Rationalitätsbereichs der Koeffizienten) in Linearfaktoren Σ u k ξ (a) k . Im allgemeinen, das heißt wenn die Formenkoeffizienten Unbestimmte sind, sind diese Linearfaktoren alle verschieden; für spezielle Werte können aber vielfache Faktoren vorkommen; oder es kann vorkommen, daß die u- Resultante identisch verschwindet, nämlich dann, wenn unendlich viele Lösungsklassen vorhanden sind. Sehen wir von dem letzten Fall ab, so repräsentieren die Koeffizienten ξ (a)0 , …, ξ (a) n eines jeden Linearfaktors eine Lösungsklasse. Ein μ- facher Linearfaktor gibt eine „Lösung der Multiplizität μ“. Die Summe der Multiplizitäten der Lösungsklassen1) ist somit \(\mathop{\prod }\limits_{1}^{n} {{m}_{i}}\); dies ist der Satz von Bézout in moderner Gestalt2). Wie man sieht, gibt hier die u- Resultante das Mittel, die Multiplizitäten so zu definieren, daß die „Erhaltung der Anzahl“ gilt: die Anzahl der Lösungen im „allgemeinen“ Fall ist gleich der Summe der Multiplizitäten im Spezialfall.
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Literatur
Man sagt oft ungenau „Anzahl“ statt „Summe der Multiplizitäten“.
VgL etwa F. S. Macaulay, Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge Tract 19 (1916), p. 15–17. Im folgenden mit „Macaulay“ zitiert.
Siehe z. B.: G. Salmon, Geometry of three dimensions (1874), S. 303 (übers. von Fiedler, II. Teil, S. 86 );
H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie (1879), S. 47;
E. Study, über die Geometrie der Kegelschnitte (1885), S. 36, und Math. Annalen 40 (1892), S. 555. Der angebliche Beweis bei Halphen (Mémoire sur les courbes algébriques, Journal Ec. Pol. 52 (1882), p. 19) für den dreidimensionalen Fall kann nicht anerkannt werden, weil bei Halphen eine Multiplizitätsdefinition fehlt, also der Satz keinen klaren Sinn hat. Derselbe und noch andere Einwände lassen sich geltend machen auch gegen einen allgemeinen Beweis von M. Noether, Zur Eliminationstheorie, Math. Annalen 11 (1877), S. 571.
E. Lasker, Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Annalen 60 (1905), S. 20;
vgl. auch B. L. v. d. Waerden, On Hilbert’s function etc., Proc. Kon. Ac. Amsterdam Sept. 1927, wo die Laskerschen Gedanken genauer ausgeführt sind.
ormation U mit unbestimmten
H. G. Zeuthen, Abzählende Methoden (1914), S. 30. Für beliebige r hat Zeuthen einige Andeutungen für einen Beweis gegeben, aber keinen vollständigen Beweis und keine Multiplizitätsdefinition.
Vgl. die Ausführung dazu in § 6 meiner Arbeit „Der Multiplizitätsbegriff der algebraischen Geometrie“, Math. Annalen 97 (1927), S. 756 (im folgenden mit W2 zitiert)
G. Schaake, Afbeelding van stelsels figuren op de punten eener lineaire ruimte, Diss. Amsterdam 1922, S. 147–188.
Für die Grundlagen der Idealtheorie in Polynombereichen und ihrer geometrischen Anwendungen, sowie für weitere Literatur darüber verweise ich auf meine zusammenfassende Arbeit „Zur Nullstellentheorie der Polynomideale“, Math. Annalen 96 (1926), S. 183.
Sie wird im folgenden mit Wl zitiert. Für die körpertheoretischen Sätze, die zur Verwendung kommen werden, verweise ich auf die grundlegende Steinitzsche Arbeit „Algebraische Theorie der Körper“, Journ. f. Math. 137 (1910). S. 167–309. Im folgenden mit „Steinig“ zitiert.
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van der Waerden, B.L. (1983). Eine Verallgemeinerung des Bézoutschen Theorems. In: Zur algebraischen Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61782-9_4
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