Die Struktur endlicher abelscher Gruppen

Zusammenfassung

Die Wahl einer Basis in einem endlich erzeugten VektorraumV bewirkt eine Zerlegung von V als direkte Summe eindimensionaler Unterräume; ihre Anzahl r ist die Dimension, die einzige Invariante von V. Analog zu dieser Tatsache der linearen Algebra ist jede endliche abelsche Gruppe A zerlegbar als direktes Produkt von monogenen Gruppen áa_iñ. Unter solchen Faktorisierungen von A kann noch eine Auswahl getroffen werden. Beispielsweise kann man die Zerlegung $A = \mathop \oplus \nolimits_{i = 1}^r \left\langle {a_i } \right\rangle$ so wählen, daß die Ordnungen m _i der Faktoren áa_iñ eine monoton steigende Folge m₁ℤ Ì ⋯ Ì m_rZ echter Untergruppen von Z bilden oder mit anderen Worten, daß m_i+1 ein Teiler von m _i ist (1≤i<r). Die so entstehende Elementarteilerkette m₁,…,m _r von A ist die A zugeordnete Invariante. Was die Notation betrifft, so schreiben wir zunächst die Verknüpfung auf A als Addition. Natürlich gelten die Ergebnisse auch für multiplikativ geschriebene abelsche Gruppen.