Die lokalen Körper über ℚ

Zusammenfassung

Die Betrachtung von Grenzwerten spezieller Folgen rationaler Zahlen im Sinne des gewöhnlichen Absolutbetrages |·|_¥ führte zur Entdeckung der reellen Zahlen. Der Körper ℝ = ℚ_¥ entstand so durch Vervollständigung von ℚ bezüglich jenes archimedischen Betrages. Man darf wohl annehmen daß dieser Prozeß von den Entdeckern der Differentialrechnung bereits vollzogen war. Nun entspringt aus jeder Primzahl p ein weiterer Betrag |·| _p auf ℚ; auch zu ihm gehören Grenzwerte gehört eine Vervollständigung von ℚ, nämlich der Körper ℚp der p-adischen Zahlen. Seine Eroberung ist eine Leistung von Mathematikern des zwanzigsten Jahrhunderts. Die p-adischen Zahlkörper ℚp teilen übrigens mit ℝ die angenehme topologische Eigenschaft der lokalen Kompaktheit. Ihnen ist dieser Abschnitt gewidmet. Zum Schluß wird durch einen Satz von Ostrowski gezeigt daß außer den hier genannten keine weiteren Beträge für die rationalen Zahlen existieren.