Schrankentheoreme

Zusammenfassung

Für eine bestimmte Gruppe von plastischen Stoffen erlaubt die Plastizitätstheorie, aufgrund von sog. Schrankentheoremen (limit theorems) Versagenslasten (sog. Traglasten) abzuschätzen. Diese Abschätzung erfolgt durch die Bestimmung von oberen bzw. unteren Schranken der Traglast. Eine obere Schranke x _o ist eine Last, die größer als die Traglast x _l ist, während eine untere Schranke x _u kleiner als die Traglast ist. Die Kenntnis einer unteren Schranke x _u erlaubt eine sichere Bemessung, denn die vorhandene Last x _vorh wird so gewählt, daß sie mit Sicherheit kleiner als die Traglast ist, sofern sie kleiner als x _u ist. Die Schrankentheoreme gelten für diejenigen plastischen Stoffe, die die sog. Normalitätsbedingung erfüllen, auf welche hier nicht näher eingegangen werden soll. Es zählen dazu kohäsive Stoffe mit c > 0 und φ = 0. Nach dem Untere-Schranken-Theorem (lower bound theorem) tritt das Versagen nicht ein, wenn ein Spannungsfeld gefunden werden kann, das die Gleichgewichts- und Randbedingungen erfüllt und die Festigkeitsgrenzen des betrachteten Stoffes nicht verletzt. Ansonsten ist dieses Spannungsfeld frei wählbar und braucht insbesondere nicht das tatsächliche Spannungsfeld zu sein. Nach dem Obere-Schranken-Theorem (upper bound theorem) wird eine mögliche (also nicht unbedingt die tatsächliche) Bruchkinematik (sog. Bruchmechanismus) betrachtet. Die damit verknüpfte Dissipationsleistung wird unter der Annahme ausgerechnet, daß die Spannungen im betrachteten Körper die Grenzbedingung der Scherfestigkeit erfüllen. Wenn die so ermittelte Dissipationsleistung kleiner als die Leistung der Gewichtskräfte und der sonstigen äußeren Kräfte beim Versagen ist, dann muß der Körper versagen.