Stabilität und Instabilität

Zusammenfassung

Gleichgewichtslagen und Bewegungen können asymptotisch stabil, stabil oder instabil sein. Im folgenden werden die Definitionen dieser Begriffe nach Ljapunov angegeben. Sie sind für ein beliebiges mechanisches oder nichtmechanisches System gültig, das durch lineare oder nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen für generalisierte Koordinaten q_ι (i = 1, …, n) beschrieben wird. Sei q die Spaltenmatrix [q₁ … q_n]^T der generalisierten Koordinaten. Der Exponent ^T bedeutet Transposition. Sei ferner q* (t) die spezielle Lösung des Differentialgleichungssystems zu gegebenen Anfangsbedingungen q(O) = q ^*₀ und $\dot q(0) = \dot q_0* .$ Im Fall q*(t) ≠ const stellt die Lösung eine Bewegung dar und im Sonderfall q*(t) ≡ const eine Gleichgewichtslage. Zu anderen Anfangsbedingungen q(0) = q₀ und $\dot q(0) = \dot q_0$ gehört eine andere Lösung q(t). Man nennt sie die gestörten Anfangsbedingungen bzw. die gestörte Lösung. Die Größen

$$ y_\iota(t) = q_{_\iota} (t) - q_\iota * (t),\dot y_\iota(t) = \dot q_\iota(t) - \dot q_i * (t) $$

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heißen Stßrungen der Koordinaten bzw. der generalisierten Geschwindigkeiten. Als Maß für die Störung der Lösung q*(t) definiert man die skalare Graße

$$ r(t) = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}n {[y_i2 (t) + \dot y_\iota 2 (t)]} } \right\}{1/2} . $$

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