Zusammenfassung
Die Entwicklung der Idealtheorie hat historisch zwei Ausgangspunkte: die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen und die Theorie der Polynomideale. Diese beiden Theorien haben sich aber aus ganz verschiedenen Problemstellungen entwickelt. Während bei den Polynomidealen die Bestimmung der Nullstellen und die AufStellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Zugehörigkeit eines Polynoms zu einem Ideal die zentralen Probleme sind, geht die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen von der Frage der Faktorzerlegung aus. Zu dieser Frage kommt man z.B. durch die folgende Betrachtung.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Daß die Zahlen 3 und 2 ± √-5 unzerlegbar sind, folgt leicht daraus, daß ihre Norm (vgl. § 47) 9 ist. Wären sie zerlegbar, so müßten entweder beide Faktoren die Norm ±3 oder ein Faktor die Norm ±1 haben. Eine Zahl a + b√ — 5 mit der Norm ±3 gibt es nicht, da dann \(a 2+ 5b 2 =\pm 3\) sein müßte, was in ganzen Zahlen unmöglich ist. Eine Zahl mit der Norm ± 1 ist aber notwendig eine der Einheiten ± 1, da \(a 2+ 5b 2 =\pm 1\) nur durch a = ± 1, b = 0 erfüllbar ist.
E. Noether: Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenkörpern. Math. Ann. 96 (1926), S. 26–61.
Unter Potenzen werden in, diesem Paragraphen nur solche mit positiven Exponenten verstanden.
Kbull, W.: Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe. Math. Ann. 99, (1928) S. 51–70.
Unter dem Modulquotienten a: b (in Σ)verstehen wir die Gesamtheit der Elemente λ von Σ,für die λ b ⫅a.
Die vom Verfasser in Math. Ann. 101 (1929) aufgestellte Theorie wurde von E. ARTIN auf eine schönere Form gebracht und wird in dieser Form hier zum erstenmal publiziert.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1993 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
van der Waerden, B.L. (1993). Ganze Algebraische Größen. In: Algebra II. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-58038-3_6
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-58038-3_6
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-63446-8
Online ISBN: 978-3-642-58038-3
eBook Packages: Springer Book Archive