Schwach besetzte Matrizen und Graphen

Zusammenfassung

Viele Probleme in den Anwendungen lassen sich nur mit Hilfe von “großen” Matrizen formulieren, volks- oder betriebswirtschaftliche Fragestellungen ebenso wie technische oder naturwissenschaftliche Probleme (Lineare Modelle, Optimierungsprobleme, Finite-Element-Methoden). Dabei können sich “sehr große” lineare Gleichungssysteme ergeben, die aber die Besonderheit aufweisen, daß jeweils nur wenige Unbekannte miteinander verknüpft sind. In der Matrix treten also sehr viele Nullen auf; sie ist schwach (dünn) besetzt. Wann man ein lineares Gleichungssystem als “groß” betrachtet, hängt entscheidend von den zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln ab. Mit jeder neuen Computergeneration verschieben sich dabei die Grenzen, sowohl was den verfügbaren Speicherplatz als auch was die Rechenzeit anbelangt. Dies bedeutet, daß man heute Probleme mit Standard-Methoden ohne spezielle, auf sie zugeschnittene Techniken lösen kann, die man vor wenigen Jahren nur mit großem Aufwand meistern konnte. Probleme, die heute nur bearbeitet werden können, weil sie schwach besetzte Matrizen enthalten, können vielleicht mit der nächsten Computergeneration ohne Schwierigkeiten mit Standard-Routinen gelöst werden. In diesem Sinn sind die Begriffe “groß” und “dünn besetzt” sehr von der benutzten Hardware abhängig. Während bei voll besetzten quadratischen m-reihigen Matrizen für m = 100 bei 10⁴ zu speichernden Elementen und einem Rechenaufwand bei der Gauß-Elimination von ca. 2/3 · 10⁶ Rechenoperationen keine Probleme auftreten, ist das für m = 10 000 schon anders.