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Selbstähnlichkeit und fraktale Geometrie

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Zusammenfassung

Im Rahmen unserer bisherigen Überlegungen sind wir gelegentlich auf chaotische Strukturen gestoßen, etwa bei der Zeitentwicklung von eindimensionalen zellulären Automaten der Wolfram-Klasse III. Neben vielen anderen Eigenschaften, die wir diskutiert haben, gab es bei diesen Mustern eine intuitiv erkennbare Regelmäßigkeit, die der Unvorhersagbarkeit der Zeitentwicklung ein wenig zu widersprechen schien. Anhand von Abb. 6.1 läßt sich dieser Punkt noch einmal aufgreifen. Folgendes ist auffällig:
  • Ahnliche Strukturen unterschiedlicher Größe treten auf. Das ist nicht zu erwarten: Wir haben hier einzelne „Zellen“ mit einer Nächst-Nachbar-Wechselwirkung (d.h. der Zustand einer Zelle im folgenden Zeitschritt wird nur von der Zelle selbst und ihren zwei Nachbarn beeinflußt). Wie können also — bei dieser fest vorgegebenen Untereinheit — verschieden große, aber ansonsten gleiche Musterbestandteile entstehen?

  • In der „inversen“ Betrachtung (d.h. weiße Elemente vor schwarzem Hintergrund) sieht man, wie größere Dreiecke aus kleineren aufgebaut sind, die ihrerseits noch kleinere Dreiecke als Unterstruktur besitzen.

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Literatur

  1. 1.
    Hierbei handelt es sich um Messungen der Chlorophyllfluoreszenzaktivität auf einem Pflanzenblatt (Rascher 2001), also um tatsächliche experimentelle Daten und nicht um Simulationsergebnisse.Google Scholar
  2. 2.
    Tatsächlich ist dieses Muster die Momentaufnahme eines Ising-Systems für ß = 0.4 (vgl. Abb. 5.2).Google Scholar
  3. 3.
    Hierbei handelt es sich wie schon in Abb. 5.1 um experimentelle Daten zur Chlorophyllfluoreszenzaktivität auf einem Pflanzenblatt. Der Bildausschnitt zeigt eine Momentaufnahme dieser Aktivität, wobei dunklere Bereiche einer höheren Aktivität entsprechen. Am oberen Bildrand ist die Mittelrippe des Blattes zu erkennen. Untersuchungen der Zeitentwicklung und der räumlichen Organisation geben Aufschluß über Stärken und Formen der Signaltransduktion, ebenso wie über Eigenschaften der Zell-Zell-Kopplung auf dem Blatt (Rascher et al. 2001).Google Scholar
  4. 4.
    Hier und in der engen Verbindung zu den lokalen Wechselwirkungen, die in einem biologischen System maßgeblich für Prozesse der Selbstorganisation sind, liegt tatsächlich der wesentliche Unterschied zu raumzeitlichen Filtern, die in der Bildverarbeitung zum Einsatz kommen (siehe z.B. Jähne 1997).Google Scholar
  5. 5.
    Eine offensichtliche Ausnahme bildet der triviale Fall eines völligen Fehlens von Dynamik. Dann ist auch bei einer verschwindenden Korrelationslänge die Homogenität über die Zeit konstant. Ebenso würde ein Netzwerk vollkommen identischer Oszillatoren mit gleichen Anfangsbedingungen ohne Einfluß von Rauschen selbst im ungekoppelten Fall eine perfekt homogene Struktur ergeben. In solchen (in der Natur nicht auftretenden oder bedeutungslosen) Systemen verliert die Homogenität ihre Aussagekraft.Google Scholar
  6. 6.
    Eine alternative Vermutung wäre In Ω ~ T, da die Temperatur exponentiell in die Übergangswahrscheinlichkeiten des Systems eingeht.Google Scholar
  7. 1.
    Die mathematisch korrekte Terminologie für diesen etwas populär anmutenden Begriff der „klassischen“ Geometrie ist euklidische Geometrie.Google Scholar
  8. 2.
    Die tatsächliche Übersetzung dieser Handlungsanweisung in ein iteriertes Funktionensystem erfordert zusätzliche Kenntnisse im Umgang mit Matrizen oder, allgemeiner, mit Koordinatentransformationen, die hier nicht diskutiert werden sollen. Liegt das entsprechende Wissen vor, ist es jedoch eine sehr lohnende Übung, das IFS explizit zu formulieren.Google Scholar
  9. 3.
    Die Abbildungen zum Barnsley-Farn wurden mit Hilfe des Mathematica-Notebooks Fractal von E. Weisstein erzeugt, das unter www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/notebooks/FractaLm erhältlich ist.Google Scholar
  10. 4.
    Diese Übersetzung eines Gleichungssystems in ein System aus Matrix und Vektoren entspricht vollkommen unserem Vorgehen bei mehrdimensionalen Differentialgleichungen, vgl. Kapitel 2.3Google Scholar
  11. 5.
    Rein mathematisch erinnert dieses Vorgehen an sogenannte Monte-Carlo-Methoden, wie sie in vielen naturwissenschaftlichen Bereichen üblich sind. Sie kommen zum Beispiel auch als Update-Verfahren zellulärer Automaten zum Einsatz, indem eine der N2 Zellen des Raumgitters ausgewürfelt wird, um auf ihren Zustand die Update-Regeln anzuwenden (vgl. Kapitel 3.2).Google Scholar
  12. 6.
    Die genaue Form von Abb. 6.20 hängt von dem gewählten Intervall und von dem Wert des Parameters b in der Differenzengleichung ab. Eine ausführlichere Diskussion findet sich in (Kaplan u. Glass 1995).Google Scholar
  13. 7.
    An dieser Stelle soll nicht unterschlagen werden, daß wir in Gleichung (6.5) auch ein entsprechendes Vorzeichen hätten einführen können. Die Größe ɛ hätte dann unmittelbar den Skalierungsfaktor (nicht seinen Kehrwert) bezeichnet. Allerdings wäre dann die in Abb. 6.16 dargestellte strukturelle Analogie zum herkömmlichen Dimensionsbegriff verloren gegangen.Google Scholar
  14. 8.
    Die genaue informatische Umsetzung dieses „Nachzählens“ ist nicht trivial. Es existieren dazu verschiedene geschwindigkeitsoptimierte Algorithmen in der Literatur (siehe zum Beispiel Liebovitch 1998).Google Scholar
  15. 9.
    Liegt die räumliche Struktur in Form eines digitalen oder digitalisierten Bildes vor, so ist ein üblicher Zustandsraum durch die Binärcodierung reeller Zahlen (etwa in einem 8-bit-Format, also mit Werten von 0 bis 255) gegeben.Google Scholar
  16. 10.
    Es sind noch einige weitere Verfahren denkbar, um zu einer Anwendung von Gleichung (6.6) zu gelangen, vgl. (Bassingthwaighte 1994).Google Scholar
  17. 11.
    Die Zeitentwicklung wurde mit Hilfe des in Kapitel 3.3 besprochenen zellulären Automaten realisiert. Ganz allgemein eignen sich zelluläre Automaten sehr gut, um schnell und effizient Beispieldaten zum Test neuer Analyseverfahren zu erzeugen. In Kapitel 5 haben wir dies schon intensiv ausgenutzt.Google Scholar
  18. 12.
    Ebenso treten Ereignisse zu kleinen x im Fall von f2 sehr viel häufiger auf. Dagegen ist der Bereich bei mittleren x bei der Funktion f1 stärker gewichtet.Google Scholar
  19. 13.
    In der Notation folgen wir hier zum Teil (Solé et al. 1996).Google Scholar
  20. 14.
    Gleichung (6.11) ist die grundlegende Beziehung zwischen Kraft und Potential, die man aus der klassischen Mechanik kennt. Bei der Diskussion der Energie des harmonischen Oszillators in Kapitel 1.3 haben wir diesen physikalischen Zusammenhang bereits ausgenutzt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für BotanikTechnische Universität DarmstadtDarmstadtDeutschland

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