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Elemente der nichtlinearen Zeitreihenanalyse

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Zusammenfassung

„Zeitreihenanalyse“ (engl. time series analysis) ist eher eine Zielerklärung als eine konkrete Methode oder mathematische Technik. Sie setzt sich aus einem über Jahrzehnte gewachsenen, auch deutlich erkennbaren Modeerscheinungen unterworfenen Kanon von mathematisch formulierten Fragen an einen Datensatz zusammen. Die Gedankenkette hinter dieser Vorgehensweise ist in Abb. 4.1 schematisch dargestellt. Der erste Punkt erfaßt das Extrahieren bestimmter Einzelinformationen aus der Zeitreihe, also die Charakterisierung der Zeitreihe durch Observablen, die dem oben erwähnten Kanon der Zeitreihenanalyse angehören. Einige dieser Observablen haben für sich schon eine große Bedeutung und Aussagekraft, etwa die Lyapunov-Exponenten bei der Trennung von deterministischen und stochastischen Dynamiken, andere sind eher notwendige Vorarbeiten auf dem Weg zu den weiteren Kernzielen der Zeitreihenanalyse: dem Abfassen von Vorhersagen und der Entwicklung eines mathematischen Modells.

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Literatur

  1. 1.
    Dies ist eine Vereinfachung des wirklichen Sprachgebrauchs. So bezeichnet man solche Systeme auch als coupled-map lattices, sofern die dynamische Variable kontinuierlich ist, und spricht von zellulären Automaten nur im diskreten Fall.Google Scholar
  2. 2.
    Geometrisch führt ein solches „Zusammenkleben“ auf einen sogenannten Torus, also — anschaulich ausgedrückt — die Oberfläche eines Kuchenkringels (Donut).Google Scholar
  3. 3.
    In vielen Fällen wird das geeignete Element einfach Null sein, z.B. bei Automaten mit einem (diskretisierten) Zahlenintervall als Zustandsraum. In anderen Modellen muß das geeignete neutrale Element speziell ausgewählt werden. Im Fall von „Life“ zum Beispiel hat der „tot“-Zustand gerade diese Rolle.Google Scholar
  4. 4.
    Das formale Argument ist dabei, daß nur dieses Vorgehen die Isotropie des Raums erhält. Andere Verfahren würden eine unerwünschte Vorzugsrichtung in das System tragen.Google Scholar
  5. 5.
    Dabei ist zu beachten, daß die Diffusionskonstante physikalisch eine Verknüpfung von räumlicher und zeitlicher Skala herstellt.Google Scholar
  6. 6.
    An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, daß solche Systeme in der Forschungsliteratur auch als coupled-map lattices bezeichnet werden. Im strengen Sinn liegt erst beim Übergang zu einem diskreten, beschränkten Zustandsraum ein zellulärer Automat vor, zum Beispiel durch Binärcodierung der reellen Zahlen.Google Scholar
  7. 7.
    Mit Homogenität ist hier im wesentlichen die Anzahl gleicher nächster Nachbarn gemeint. Eine genauere mathematische Diskussion dieses Begriffs findet sich in Kapitel 5.3.Google Scholar
  8. 8.
    Die biologische Vorstellung hinter dieser Regel ist, daß für sich inaktive Teile eines Gesamtproteins zusammentreffen müssen, um ein vollständiges funktionsfähiges Protein zu ergeben. Wie auch in dem hier vorgestellten einfachen ZA-Modell steuert die Lipidmembran durch ihre biophysikalischen Eigenschaften die Wahrscheinlichkeit für ein solches Zusammentreffen und damit die globale Proteinaktivität.Google Scholar
  9. 9.
    Die mathematische Gestalt dieser Funktion kennen wir aus der Diskussion sigmoidaler Punktionen in Kapitel 1.2.1. Auch hier wurde die Annahme verwendet, daß der konkrete Verlauf der Funktion im Übergangsbereich für die Dynamik des zellulären Automaten keine wesentliche Rolle spielt. In Abb. 3.24 wurde eine (zweidimensionale) Hill-Funktion verwendet.Google Scholar
  10. 10.
    Diese Überlegung gibt einen gewissen Einblick in das Funktionieren einer vollständig thermodynamischen Formulierung eines Membranmodells: Dort wird die Energiebilanz der verschiedenen Konstellationen untersucht und mit der Energie kBT, die durch thermische Fluktuationen zur Verfügung steht, verglichen. Der Vergleich geschieht über sogenannte Boltzmann-Faktoren exp(△E/kBT), die proportional zu den Tauschwahrscheinlichkeiten sind. Die Größe △E bezeichnet hier die Differenz der Bindungsenergien der beiden Lipide in ihren Nachbarschaften vor und nach dem möglichen Platztausch.Google Scholar
  11. 1.
    Hier besteht ein wesentlicher Unterschied zum thermodynamischen Begriff des Rauschens, der von der Kopplung des betrachteten Systems an ein fluktuierendes (externes) System mit unendlich vielen Freiheitsgraden ausgeht.Google Scholar
  12. 2.
    Hinter der Vorsilbe steht die Idee, daß Gleichung (4.1) auch zum Vergleich zweier Zeitreihen xt und yt verwendet werden kann. Die entsprechende Größe bezeichnet man als Kreuzkorrelationskoeffizient.Google Scholar
  13. 3.
    Der Begriff „zyklisch“ wird in der Literatur an dieser Stelle vor allem verwendet, um anzudeuten, daß ein oszillatorisches Verhalten des Systems bei einer Zerlegung der Zeitreihe gerade in diese Komponente zt einfließen würde. Ein großer Teil der Forschungsliteratur zur linearen Zeitreihenanalyse beschäftigt sich mit solchen oszillatorischen Phänomenen (Schlittgen u. Streitberg 1998). Vor diesem Hintergrund mag man eine solche Begriffsbildung einsehen.Google Scholar
  14. 4.
    Wählt man insbesondere φ so, daß eine der Achsen getroffen wird, so ergeben sich sehr einfache Zusammenhänge, z.B. exp(iπ) = —1. Diese unerwartete Beziehung zweier irrationaler Zahlen (nämlich e und π) wurde von Lesern der Zeitschrift Mathematical Intelligencer in die Top 10 der bemerkenswerten mathematischen Sätze gewählt (Mathematical Intelligencer 3 1990).Google Scholar
  15. 5.
    In der Literatur finden sich verschiedene gebräuchliche Definitionen der Punktion φ(v). Unterschiede zu Gleichung (4.12) gibt es dabei vor allem im Koeffizienten des Integrals und im numerischen Faktor im Exponenten (siehe z.B. Bronstein et al. 2000).Google Scholar
  16. 6.
    Tatsächlich ist die letztgenannte Festlegung dieser Versatzkoordinaten, also der Komponenten des Einbettungsvektors, die in der Literatur gebräuchliche (Kantz u. Schreiber 1998). Der Vorteil dieser Definition (4.17) wird sofort klar, wenn man auf der Einbettung einer Zeitreihe basierende Vorhersageverfahren diskutiert.Google Scholar
  17. 7.
    Die Normierung erhält man durch eine einfache kombinatorische Überlegung: Für den ersten Punkt eines solchen Paares hat man N Möglichkeiten. Da die beiden Punkte ungleich sein sollen, stehen für die Wahl des Partners noch (N —1) Punkte zur Auswahl.Google Scholar
  18. 8.
    An dieser Stelle sind zwei Bemerkungen angebracht: 1. Im Fall einer unendlich langen Zeitreihe mit vollkommen weißem (also zeitlich unkorreliertem) Rauschen wäre der Zusammenhang sogar exakt linear. 2. Im absolut rauschfreien und stationären (also ohne Trend evolvierenden) Systemen kann der Konvergenzprozeß D(E) → DA sogar noch schneller geschehen als in Abb. 4.21 angedeutet. 9 Eine Möglichkeit zur Bestimmung von r ist z.B. der erste Nulldurchgang der Korrelationsfunktion (Abarbanel et al. 1993).Google Scholar
  19. 10.
    Santa Fe Time Series Prediction and Analysis Competition. Dort wurden Teile von Zeitreihen veröffentlicht mit dem Auftrag, Vorhersagen für das fehlende Stück zu machen. Über die Erzeugungsmechanismen gab es keine Informationen. Die Zeitreihen reichten von den Wechselkursen verschiedener Währungen bis zu einer (unvollendeten) Fuge von J.S. Bach.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für BotanikTechnische Universität DarmstadtDarmstadtDeutschland

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