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Mathematische Grundlagen

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Zusammenfassung

Experimentelles Arbeiten durch eine mathematische Brille zu betrachten ist ein unverzichtbares Hilfsmittel wissenschaftlichen Arbeitens geworden. Die ganz grundlegenden Begriffe der Statistik finden dabei so selbstverständlich Anwendung, daß sie kaum einer Erwähnung bedürfen. Gleichzeitig bilden sie aber die Basis für eine Verbindung von Experimenten und Mathematik, die sich als Ausgangspunkt von fortgeschritteneren Überlegungen eignet, etwa zur Verallgemeinerung bekannter Begriffe oder zum Hinterfragen ihrer Anwendbarkeit. Das sprachliche Fundament soll in dem vorliegenden Kapitel gelegt werden.

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Literatur

  1. 1.
    Die Tatsache, daß in Wirklichkeit natürlich rationale Zahlen gemessen werden, genauer: Intervalle von rationalen Zahlen, ist in dem sehr lesenswerten Anfangskapitel des populären Buches “The Emperor’s New Mind” von R. Penrose in einem größeren Zusammenhang diskutiert (Penrose 1989).Google Scholar
  2. 2.
    Der Angabe eines korrekten statistischen Fehlers sind ganze Bücher gewidmet (siehe z.B. Fahrmeir 2001). In Gleichung (1.1) ist die einfachste Form, die Standardabweichung oder Streuung der Meßgröße, angegeben.Google Scholar
  3. 3.
    Der Begriff “hoch” kann hier nur eine relative Angabe sein. Im folgenden wird sich zeigen, daß ein System meist eigene Zeitkonstanten besitzt, und die Größe der Sampling-Rate stets im Verhältnis zu solchen Zeitskalen des Systems betrachtet werden muß.Google Scholar
  4. 4.
    Ähnlich wie schon zuvor beim Einführen einer dimensionslosen Zeit folgen wir hier der nützlichen Konvention, bei einer zeitabhängigen Größe x die kontinuierliche Zeit stets als Argument, also x(t), und die diskrete Zeit als Index, also xt, anzugeben.Google Scholar
  5. 5.
    Diese beiden Typen bezeichnet man auch als aktive (beim Grenzzyklus) und passive (beim Pendel) Oszillation.Google Scholar
  6. 6.
    Das Komplementärereignis \( \bar X \) zu einem Ereignis X ist die Menge aller Ereignisse, die nicht X sind.Google Scholar
  7. 7.
    So wäre es zum Beispiel ein erheblicher Fehler, auf dem neu zugewiesenen Zustandsraum 1,2,3,4 explizit oder implizit einen Abstand einzuführen und damit z.B. G als “weiter entfernt” von T als von A zu interpretieren, vgl. dazu auch die Diskussion von Zustandsräumen mit und ohne Abstand in Kapitel 5.3.Google Scholar
  8. 8.
    Strenggenommen müßte hier X(Z) im Summanden stehen und die Summe über Z =A, B,… summiert werden. Dieser Zwischenschritt ist hier unterdrückt, und wir verstehen die Größen A, B,… bereits als reelle Zahlen.Google Scholar
  9. 9.
    Die verwendete Sequenz codiert für die Thymidylat-Synthase und ist im Internet unter www.ncbi.nlm.nih.gov, www.expasy.ch oder srs.ebi.ac.uk erhältlich.Google Scholar
  10. 10.
    Tatsächlich ist im allgemeinen die Funktion S maximal für divergierende Parameter (z.B. im Limes m → ∞ oder b → ∞), so daß die Bedingungen (1.9) mit endlichen Parameterwerten von wenigen pathologischen Fällen abgesehen (lokale Maxima bei Funktionen mit starker Parameterabhängigkeit) auf ein Minimum führen.Google Scholar
  11. 11.
    Dabei bedeutet “endogen” ein Auftreten ohne äußeren Antrieb, also aus der Pflanze selbst heraus, und “circadian” (wörtlich: “tagesähnlich” ) eine Oszillation mit einer Periodendauer in der Größenordnung von 24 Stunden.Google Scholar
  12. 12.
    Dies ist ein Beispiel für das allgemeine Phänomen von Bifurkationen, die in Kapitel 2.2 behandelt werden. Bestimmte Typen solcher Verzweigungen im Verhalten des Systems führen auf Oszillationen, sobald ein bestimmter Wert eines äußeren Kontrollparameters überschritten wird.Google Scholar
  13. 13.
    Datensätze von sehr viel höherer Qualität zur gleichen experimentellen Situtation werden in (Hütt et al. 2001) diskutiert.Google Scholar
  14. 14.
    Für weitere Einzelheiten dieses Verfahrens und seiner physiologischen Interpretation siehe (Hütt et al. 2001).Google Scholar
  15. 16.
    Man bezeichnet Gleichung (1.11) auch als autonom, wenn die rechte Seite nicht explizit (also nur durch x) von t abhängt.Google Scholar
  16. 16.
    In Notation und Beschreibung wurde hier der für Anwendungen in der Modellierung dynamischer Phänomene relevante Spezialfall einer zeitlichen Änderung hervorgehoben. Es ist klar, daß das mathematische Werkzeug “Differentialgleichungen” nicht auf diesen Fall beschränkt ist, sondern für jeden funktionalen Zusammenhang y = f (x) formulierbar ist.Google Scholar
  17. 17.
    Mit einer elementaren Methode der Analysis, der sogenannten Taylor-Entwicklung, läßt sich zeigen, daß diese beiden Typen von Nichtlinearitäten äquivalent sind.Google Scholar
  18. 18.
    Man beachte dabei den Vorzeichenwechsel: z =k-axdz/dx =-a.Google Scholar
  19. 19.
    In Kapitel 1.1 sind wir allerdings von der Vorstellung eines Fadenpendels ausgegangen, während hier wegen der einfacheren Notation für die Kräfte ein Federpendel besprochen wird.Google Scholar
  20. 20.
    An dieser Stelle soll noch auf die Bedeutung einiger Symbole hingewiesen werden, die aus der formalen Logik kommend in der Mathematik weit verbreitet sind: ∀ = “für alle”, ∃ = “ es existiert“, Λ = “ und“, Λ = “ oder“.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für BotanikTechnische Universität DarmstadtDarmstadtDeutschland

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