Ergänzung: Galoistheorie

Zusammenfassung

Die Theorie von Galois, deren Grundzüge in diesem ergänzenden Kapitel dargestellt und an Beispielen erläutert werden, zeigt, dass die für endliche Körper im vorigen Kapitel festgestellte bemerkenswerte Korrespondenz zwischen Zwischenkörpern einer Körpererweiterung einerseits und Untergruppen der Automorphismengruppe andererseits auch für gewisse endliche Körpererweiterungen L/K beliebiger Körper besteht. Historisch kam die Behandlung der Erweiterungen von ℚ vor der Einführung und Behandlung endlicher Körper. Diese Beschreibung verdankt ihre Wichtigkeit der Tatsache, dass häufig die Bestimmung der Untergruppen der Automorphismengruppe (schon alleine wegen ihrer Endlichkeit) leichter als die Bestimmung der Zwischenkörper ist, und man sich daher auf dem Umweg über das Studium der Untergruppen der Automorphismengruppe einen Überblick über die Zwischenkörper der Erweiterung verschaffen kann. Als Beispiel dafür beweisen wir, dass das im vorigen Kapitel hergeleitete notwendige Kriterium für die Konstruierbarkeit des regelmäßigen n-Ecks auch hinreichend ist. Der fundamentale Satz über die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung vom Grad 5 oder höher bleibt einer vertiefenden Algebra-Vorlesung vorbehalten. Schon der Stoß dieses Kapitels wird meist nicht in eine einsemestrige einführende Vorlesung nach dem Konzept dieses Buches passen; er dient hier mehr dazu, interessierte LeserInnen neugierig auf mehr zu machen.