Zusammenfassung
Wie am Ende des vorigen Kapitels bereits erwähnt, ist die notwendige Gradientenbedingung aus Satz 1.4.6 für konvexe Zielfunktionen auch hinreichend. Diese Tatsache mag als erste Motivation dafür dienen, sich näher mit der konvexen Optimierung zu beschäftigen. Dabei wird in diesem Kapitel zunächst ein gründliches Studium der konvexen Mengen erfolgen; in Kap. 5 werden wir dann die Bedeutung der Konvexität für Funktionen sowie einige Verallgemeinerungen dieser Theorie (insbesondere quasi- und pseudokonvexe Funktionen) untersuchen.
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Notes
- 1.
Für Leser, die mit den Grundbegriffen der affinen Geometrie sowie den entsprechenden Konzepten aus der linearen Algebra – wie affinen Unterräumen, affiner Abhängigkeit, der affinen Hülle und dem affinen Rang – nicht vertraut sind, stellen wir die wichtigsten Fakten hierzu im Anhang zusammen.
- 2.
Nach dieser Definition muß also jeder Kegel mit einer eindeutig bestimmten Spitze diese Spitze im Ursprung \(\mathbf{0}\) haben, während man in der klassischen Geometrie üblicherweise auch Kegel mit einer anderen Spitze betrachtet, also Translationen von Kegeln in unserem Sinne erlaubt. Für die Zwecke der Optimierung ist die hier gegebene engere Definition aber besser geeignet.
- 3.
Auch hier weichen wir von der in der Geometrie üblichen Terminologie ab, wo Polyeder nicht notwendigerweise konvex sind. Im Sinne der Geometrie sollten wir also stets von konvexen Polyedern sprechen. Für die Optimierung sind nur derartige Polyeder von Interesse, weswegen wir bei der einfacheren Bezeichnung Polyeder bleiben wollen.
- 4.
Etwas geometrischer formuliert liegt also jeder Punkt der konvexen Hülle von S in einem k-dimensionalen Simplex mit Ecken aus S.
- 5.
Wir verwenden die Begriffe Seitenfläche, Kante und Ecke hier ganz anschaulich; eine formale Definition wird in § 2.5 erfolgen.
- 6.
Falls solch ein x nicht existiert, sind wir bereits fertig, wie sich der Leser überlegen möge.
- 7.
Wir werden diese Aussage später auf stetige konvexe Funktionen verallgemeinern, siehe Satz 5.3.15.
- 8.
Dies entspricht nicht unbedingt der Anschauung, nach der man wohl eher nur „echte“ Tangentialrichtungen mit diesem Namen belegen würde, also Tangentialrichtungen, die nicht sogar zulässige Richtungen sind. Man beachte also stets, daß jede zulässige Richtung nach den allgemein üblichen Definitionen auch eine Tangentialrichtung ist!
- 9.
Man beachte, daß dieser Beweis sogar die stärkere Aussage \(G' = D_S(\mathbf{x}) = T_S(\mathbf{x})\) liefert.
- 10.
Ein Beweis für die Antwort auf diese Frage ist momentan noch etwas schwierig, wird aber im nächsten Kapitel bald klar werden; siehe Übung 3.1.3.
- 11.
Streng genommen ist die Menge \(F_S(\mathbf{x})\) natürlich gar kein Kegel, da sie den Nullvektor nicht enthält; sie ist aber unter Multiplikation mit positiven Skalaren abgeschlossen, und somit ist \(F_S(\mathbf{x}) \cup \{\mathbf{0}\}\) in der Tat ein Kegel.
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Jungnickel, D. (2015). Konvexe Mengen. In: Optimierungsmethoden. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-54821-5_2
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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