Die Entstehung der Quantenphysik

Kapitelvorwort

Die Quantentheorie wird als eine der größten naturwissenschaftlichen Errungenschaften des 20. Jahrhunderts angesehen - revolutionär und von groÿem praktischen Nutzen. Ohne sie gäbe es kein Verständnis der Eigenschaften von Molekülen, Atomen und Atomkernen, Halbleitern, Lasern oder Elementarteilchen, und ohne sie könnten wir auch nicht begreifen, warum die Sonne schon mehrere Milliarden Jahre Energie ausstrahlt.

Dieses Kapitel beschreibt die Entstehung der Quantenphysik. In Abschnitt 21.1 werden Probleme der klassischen Physik vor Entdeckung der Quantentheorie erläutert. Besondere Beachtung findet in Abschnitt 21.2 die Untersuchungen zur Hohlraumstrahlung. Der Welle-Teichen- Dualismus in Gestalt von Lichtquanten einerseits und Materiewellen andererseits wird in Abschnitt 21.3 behandelt. In Abschnitt 21.4 folgen die Quantisierungsregeln von Bohr und Sommerfeld mit Anwendung auf das Bohr’sche Wasserstoffatom. In Abschnitt 21.5 werden Emissions- und Absorptionsprozesse von Atomen behandelt. Hier findet man auch die Beziehung zwischen den dabei auftretenden Einstein-Koeffzienten. Im letzten Abschnitt 21.6 wird beschrieben, wie sich der Spin von Teilchen bemerkbar machte und verstanden wurde.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

21.1 •• Schwarzkörperstrahlung

Es sei $\rho(\nu,T)$ die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung.

• (a) Beweisen Sie, dass die pro Flächenelement der Berandung abgegebene spektrale Strahlungsleistung gegeben ist durch

  $$w(\nu,T)=\frac{c}{4}\,\rho(\nu,T)\,.$$

  (21.77)

  Wie lautet die Formel für die gesamte Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers der Temperatur T?

• (b) Die Intensitätsverteilung an der Sonnenoberfläche entspricht in guter Näherung der eines Schwarzen Körpers mit Temperatur $T\approx 5770$ K. Bekannt sind der Sonneradius $r_{\text{S}}\approx 6{,}963\cdot 10^{8}$ m und der Abstand zwischen Sonne und Erde, $d\approx 1{,}496\cdot 10^{11}$ m. Welche Energie pro Flächeneinheit trifft dann auf ein der Sonne senkrecht gegenüberliegendes Flächenstück auf der Erde?

Lösungshinweis:

Zur Berechnung der pro Zeitintervall durch das Flächenelement $\mathrm{d}f$ in der Berandung transportierten Strahlungsenergie betrachte man Abb. 21.19.

Abb. 21.19

Die im Gebiet $\mathrm{d}V$ enthaltene Energie der Hohlraumstrahlung breitet sich isotrop mit Lichtgeschwindigkeit aus. Ein Teil der Strahlung verlässt den Hohlraum durch das kleine Flächenstück $\mathrm{d}f$ in der Berandung. Die Strahlung braucht zum Erreichen der Öffnung die Zeit $\Updelta t=r/c$

21.2 • De‐Broglie‐Wellenlänge

Teilchen werden Materiewellen mit Wellenzahlvektor ${\boldsymbol{k}}={\boldsymbol{p}}/\hbar$ oder De‐Broglie‐Wellenlänge $\lambda=h/|{\boldsymbol{p}}|$ zugeordnet. Eine quantenmechanische Beschreibung wird relevant, wenn die De‐Broglie‐Wellenlänge größer ist als die charakteristische Ausdehnung des Systems.

• (a) Wie groß ist die Wellenlänge eines thermischen Neutrons mit kinetischer Energie 25 meV?

• (b) Wie groß ist die Wellenlänge einer Langstreckenläuferin mit der Masse 53 kg und der Geschwindigkeit $12\,\mathrm{km/h}$?

• (c) Wie groß ist die Wellenlänge für ein Elektron mit der Energie 200 MeV?

Vergleichen Sie die Größe der Objekte mit ihren Wellenlängen.

Lösungshinweis:

Eine weitere nützliche Konstante ist $hc=1{,}986\,446\cdot 10^{-25}\,\mathrm{J\,m}=1{,}239\,842\cdot 10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}$. Ein Elektron ist innerhalb der experimentellen Genauigkeit von weniger als $10^{-18}$ m ein punktförmiges Teilchen.

21.3 • Streuprozesse

Ein Photon mit der Energie 1 GeV trifft auf ein Proton in Ruhe. Wie groß ist der maximale Energieverlust?

Lösungshinweis:

Das Photon erfährt bei einem frontalen Zusammenstoß den maximalen Impulsübertrag.

21.4 • Elementarteilchen als Schwarze Löcher?

Die Compton‐Wellenlänge eines Teilchens erhält man durch Gleichsetzen von $h\nu$ und $mc^{2}$. Versucht man nun, ein Teilchen genauer als seine Compton‐Wellenlänge zu lokalisieren, dann wird aufgrund der Unschärferelation seine kinetische Energie derart groß, dass diese in Paare von Teilchen und Antiteilchen umgewandelt wird. Als Folge kann ein Teilchen höchstens bis auf seine Compton‐Wellenlänge lokalisiert werden.

• (a) Berechnen Sie zuerst den Radius R eines kugelsymmetrischen „Sterns“ der Masse M, für den die Fluchtgeschwindigkeit im Newton’schen Gravitationsfeld die Lichtgeschwindigkeit ist. Gravierende Objekte mit diesem Schwarzschild‐Radius nennt man Schwarze Löcher. Bestimmen Sie den Schwarzschildradius für ein Elektron und ein Proton.

• (b) Was sind die Compton‐Wellenlängen dieser Teilchen. Vergleichen Sie die Schwarzschild‐Radien mit der Compton‐Wellenlängen und erklären Sie, warum man Elektron und Proton nicht als Schwarze Löcher annehmen kann.

• (c) Ab welcher Masse kann man daher frühestens von „Elementarteilchen als Schwarzen Löchern“ reden? Welcher Compton‐Wellenlänge entspricht das?

Lösungshinweis:

Zur Lösung der Teilaufgabe (a) benötigen Sie nur die Newton’sche Mechanik und das Newton’sche Gravitationspotenzial.Es ist ratsam, zur Beantwortung von Teilaufgabe (c) unter dem Stichwort „Planck’sche Einheiten“ in Büchern oder dem Internet zu recherchieren.

21.5 •• Bohr‐Sommerfeld‐Quantisierung des H‐Atoms

Die Bohr‐Sommerfeld‐Quantisierungsregeln sind anwendbar auf periodische Systeme mit f Freiheitsgraden. Dabei muss sich jeder kanonische Impuls als Funktion seiner konjugierten Koordinate und der anderen kanonischen Impulse schreiben lassen. Dann besagt die Quantisierungsregel

$$\oint_{\mathcal{C}}p_{i}\,\mathrm{d}q_{i}=hn_{i},\quad n_{i}=0,1,2,\dots,\quad i=1,\dots,f\,,$$

(21.78)

wobei hier ausnahmsweise nicht über den doppelt vorkommenden Index i summiert wird. Wenden Sie die Quantisierungsregel auf das Wasserstoffatom an. Dabei können Sie die klassische Bewegung des Elektrons auf eine Ebene einschränken. Rechnen Sie dazu die Radien der Umkehrpunkte aus, bei denen der Radius maximal bzw. minimal ist. Welche Energien als Funktion der Quantenzahlen n _r und $n_{\varphi}\equiv\ell$ sind erlaubt?

Lösungshinweis:

Das bei der Lösung auftretende Integral ist

$$\int_{a}^{b}\frac{dx}{x}\sqrt{(x-a)(b-x)}=\frac{\uppi}{2}(a+b)-\uppi\sqrt{ab}\,,$$

(21.79)

wobei $0\leq a<b$ sein soll.

Lösungen zu den Aufgaben

21.1

$$\frac{W}{A}=1362\,\frac{\text{Watt}}{\text{m}^{2}}$$

(21.80)

21.2

• (a) $\lambda\approx 1{,}8\cdot 10^{-10}$ m

• (b) $\lambda\approx 3{,}8\cdot 10^{-36}$ m

• (c) $\lambda\approx 6{,}2\cdot 10^{-15}$ m

21.3

$\Updelta E=681\,$MeV.

21.5

Der maximale und minimale Radius der Bahn sind

$$r_{\pm}=\frac{e^{2}}{2|E|}\left(1\pm\sqrt{1-2|E|L^{2}/me^{4}}\,\right),$$

(21.81)

und für die Energie findet man

$$E=-\frac{me^{4}}{2\hbar^{2}(n_{r}+n_{\varphi})^{2}}\,.$$

(21.82)

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

21.1

• (a) Die im gezeigten Volumenelement $\mathrm{d}V=r^{2}\sin\vartheta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\vartheta\,\mathrm{d}\varphi$ enthaltene Energie $\rho\,\mathrm{d}V$ wird mit Lichtgeschwindigkeit isotrop in alle Richtungen abgestrahlt. Der entsprechende Beitrag zu der aus dem Flächenstück $\mathrm{d}f$ am Ursprung austretenden Energie ist $\mathrm{d}f\,\cos\vartheta/4\uppi r^{2}$, multipliziert mit der Energie $\rho\,\mathrm{d}V$. Um die im Zeitintervall $\Updelta t$ austretende Energie zu berechnen, integrieren wir über die Halbkugel mit Radius $c\,\Updelta t$, aus der die Strahlung das Flächenstück erreichen kann. Damit ist die pro Flächenelement in der Zeit $\Updelta t$ austretende Strahlung

  $$w(\nu,T)\,\Updelta t=\int_{\text{Halbkugel}}\!\!\!\mathrm{d}V\;\frac{\rho(\nu,T)\,\cos\vartheta}{4\uppi r^{2}}=\frac{c\rho(\nu,T)}{4}\,\Updelta t\,,$$

  (21.83)

  was zu beweisen war. Mit (21.10) findet man für die gesamte Strahlungsleistung pro Flächenelement

  $$\frac{W}{A}=\sigma T^{4},\quad\sigma=\frac{ca}{4}\approx 5{,}370\cdot 10^{-8}\frac{\text{Watt}}{\text{m}^{2}\,\text{K}^{4}}\,.$$

  (21.84)

• (b) Die auf der Erde pro Flächeneinheit ankommende Strahlungsleistung ist

  $$\frac{W}{A}=\sigma T^{4}\left(\frac{r_{\text{S}}}{d}\right)^{2}\approx 1362\,\frac{\text{Watt}}{\text{m}^{2}}\,.$$

  (21.85)

  Der beobachtete Wert dieser sogenannten Solarkonstante ist $1{,}367\cdot 10^{3}\,\mathrm{Watt/m}^{2}$.

21.2

• (a) Die kinetische Energie eines thermischen Neutrons ist sehr viel kleiner als seine Ruheenergie $E_{0}=m_{\mathrm{n}}c^{2}=939$ MeV, und deshalb dürfen wir die nichtrelativistische Energie‐Impuls‐Beziehung $E_{\text{kin}}=p^{2}/2m_{\mathrm{n}}=25$ MeV benutzen. Deshalb können wir schreiben:

  $$(pc)^{2}=2m_{\mathrm{n}}c^{2}\cdot E_{\text{kin}}=(6{,}85\,\mathrm{keV})^{2}\,.$$

  (21.86)

  Damit ist die De‐Broglie‐Wellenlänge $\lambda=hc/pc=1{,}81\cdot 10^{-10}$ m. Die Wellenlänge des thermischen Neutrons ist also sehr viel größer als sein Durchmesser $d=1{,}7\cdot 10^{-15}$ m.

• (b) Die Langstreckenläuferin hat die kinetische Energie $E_{\mathrm{kin}}=mv^{2}/2=294{,}44$ J, die verglichen mit ihrer Ruheenergie $E_{0}=4{,}76\cdot 10^{18}$ J verschwindend klein ist. Entsprechend ist $pc=5{,}30\cdot 10^{10}$ J. Deshalb ist $\lambda=hc/pc=3{,}8\cdot 10^{-36}$ m. Die Langstreckenläuferin wird somit ihre Wellennatur nie zeigen können.

• (c) Die Energie des Elektron ist sehr viel größer als seine Ruheenergie $E_{0}=0{,}51$ MeV, und deshalb ist das Elektron stark relativistisch, $E^{2}=E_{0}^{2}+(pc)^{2}\approx(pc)^{2}=(200\mbox{ MeV})^{2}$. Für seine Wellenlänge erhält man $\lambda=hc/pc=6{,}2\cdot 10^{-15}$ m. Die De‐Broglie‐Wellenlänge des Elektrons ist also mindestens 10⁴‐mal größer als sein Radius.

21.3

Der frontale Zusammenstoß kann als eindimensionales Problem behandelt werden. Der Impuls des Photons vor dem Stoß sei q > 0 und sein Impuls nach dem Stoß $q^{\prime}$. Wir kennen das Vorzeichen von $q^{\prime}$ noch nicht. Da sich das Proton anfänglich in Ruhe befindet, muss sein Impuls nach dem Stoß $q-q^{\prime}$ sein. Aus der Energieerhaltung folgt

$$qc+m_{\mathrm{p}}c^{2}=|q^{\prime}|c+\sqrt{(m_{\mathrm{p}}c^{2})^{2}+(q-q^{\prime})^{2}c^{2}}\,.$$

(21.87)

Bringen wir den ersten Term auf der rechten Seite nach links und quadrieren, dann ergibt sich

$$2m_{\mathrm{p}}c\,(q-|q^{\prime}|)=(q-q^{\prime})^{2}-(q-|q^{\prime}|)^{2}\,.$$

(21.88)

Für positive $q^{\prime}$ verschwindet die rechte Seite, und es folgt $q^{\prime}=q$. Das Proton bleibt in Ruhe, und es gibt keinen Energieübertrag. Für negative $q^{\prime}$ ist

$$q^{\prime}=-\frac{q}{1+2q/m_{\mathrm{p}}c}\,.$$

(21.89)

Der Energieverlust des Photons ist

$$\Updelta E=(q-|q^{\prime}|)c=\frac{2E_{\gamma}^{2}}{m_{\mathrm{p}}c^{2}}\frac{1}{1+2E_{\gamma}/m_{\mathrm{p}}c^{2}}\,,$$

(21.90)

worin $E_{\gamma}=qc$ die Energie des einlaufenden Photons ist. Für $E_{\gamma}=1\,$GeV und $m_{\mathrm{p}}c^{2}=936\,$MeV erhalten wir $\Updelta E=681\,$MeV.

21.4

• (a) Für die Fluchtgeschwindigkeit sind die potenzielle Energie und die kinetische Energie mit $v=c$ gleich, d. h.

  $$\frac{mc^{2}}{2}=\frac{GMm}{R}\quad\text{bzw.}\quad R=\frac{2MG}{c^{2}}\,.$$

  (21.91)

  Die Schwarzschild‐Radien des Elektrons und Protons sind

  $$R_{e}\approx 1{,}353\cdot 10^{-57}\,\mathrm{m}\,,\quad R_{p}\approx 2{,}484\cdot 10^{-54}\,\mathrm{m}\,.$$

  (21.92)

• (b) Ihre Compton‐Wellenlängen sind dagegen

  $$\lambda_{e}\approx 2{,}426\cdot 10^{-12}\,\mathrm{m},\quad\lambda_{p}\approx 1{,}321\cdot 10^{-15}\,\mathrm{m}\,.$$

  (21.93)

  Dies bedeutet, dass es nicht möglich ist, die Elementarteilchen auf ihren Schwarzschild‐Radius zu lokalisieren, um ein Schwarzes Loch zu erzeugen. Die nach der Unschärferelation dazu nötige kinetische Energie übersteigt ihre Ruhenergien um viele Größenordnungen.

• (c) Aus Gleichsetzen von

  $$\lambda_{e}=\frac{h}{mc}\quad\hbox{und}\quad R=\frac{2Gm}{c^{2}}$$

  folgen die kritische Masse und Wellenlänge

  $$m_{*}=\left(\frac{hc}{2G}\right)^{1/2}\,,\quad\lambda_{*}=\left(\frac{2hG}{c^{3}}\right)^{1/2}\,.$$

  Es sind bis auf Faktoren der Ordnung $O(1)$ die Planck‐Masse und die Planck‐Länge.

21.5

Wir führen Polarkoordinaten $r,\varphi$ in der Bahnebene ein. Dann lautet die Lagrange‐Funktion für das Elektron im Coulomb‐Feld

$$L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\right)+\frac{e^{2}}{r}\,.$$

(21.94)

Der zu $\varphi$ konjugierte Impuls $p_{\varphi}=mr^{2}\dot{\varphi}$ ist der erhaltene Drehimpuls L des Elektrons. Für gebundene Bahnen ist die erhaltene Energie negativ:

$$H=\frac{1}{2m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{e^{2}}{r}=E<0\,.$$

(21.95)

Die erste Quantisierungsbedingung

$$\oint_{\mathcal{C}}p_{\varphi}\,\mathrm{d}\varphi=2\uppi p_{\varphi}=n_{\varphi}h$$

(21.96)

führt sofort auf die Quantisierung des Drehimpulses, $L=n_{\varphi}\hbar$. Zur Auswertung der zweiten Quantisierungsbedingung

$$\oint_{\mathcal{C}}p_{r}\,\mathrm{d}r=n_{r}h$$

(21.97)

brauchen wir die Radien $r_{\pm}$ der Umkehrpunkte der Bahn. An diesen verschwindet das Quadrat des radialen Impulses

$$p_{r}^{2}(r)=2mE\left(1+\frac{e^{2}}{Er}-\frac{L^{2}}{2mEr^{2}}\right).$$

(21.98)

Damit sind der maximale und minimale Radius der Bahn

$$r_{\pm}=\frac{e^{2}}{2|E|}\left(1\pm\sqrt{1-2|E|L^{2}/me^{4}}\,\right).$$

(21.99)

Die halbe Periode in $(r,p_{r}(r))$ beginnt z. B. beim minimalen Radius und endet beim maximalen Radius. Die Quantisierungsbedingung (21.97) ist deshalb äquivalent zur Bedingung

$$\begin{aligned}n_{r}h&=2\int_{r_{-}}^{r_{+}}p_{r}(r)\,\mathrm{d}r\\ &=2\sqrt{2m|E|}\int_{r_{-}}^{r_{+}}\sqrt{(r-r_{-})(r_{+}-r)}\;\frac{\mathrm{d}r}{r}\,.\end{aligned}$$

(21.100)

Zur Berechnung des Integrals benutzen wir (21.79) und erhalten

$$n_{r}h=\uppi\sqrt{\frac{2me^{4}}{|E|}}-2\uppi L\,.$$

(21.101)

Mit $L=n_{\varphi}\hbar$ führt die Auflösung nach der (negativen) Energie auf folgende Energieniveaus im Wasserstoffatom:

$$E_{n}=-\frac{me^{4}}{2\hbar^{2}n^{2}}\quad\text{mit}\quad n=n_{r}+n_{\varphi}\,.$$

(21.102)