Teilchensysteme

Zusammenfassung

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir bereits einige Situationen kennengelernt, in denen die Bewegungen von zwei oder mehr Körpern voneinander abhängig waren. Beispiele hierfür sind die zwei durch ein Seil verbundenen Massen, die eine Schräge hinunterrutschen oder die beiden zusammenstoßenden Autos beim inelastischen Stoß. In diesem Kapitel wollen wir diese Beispiele noch einmal aufgreifen und eine allgemeine Vorgehensweise aufstellen, wie man Aufgabenstellungen mit mehreren Körpern löst. Damit lassen sich nicht nur Stöße zwischen zwei Körpern einfacher als in Kapitel 6 gezeigt beschreiben, sondern auch Systeme mit variabler Masse bzw. Teilchenzahl. Als Beispiel hierfür werden wir den Raketenantrieb betrachten.

Die Schubkraft, die eine Rakete abheben lässt, ergibt sich aus der Brennrate und der Geschwindigkeit, mit der die Verbrennungsgase ausgestoßen werden. Dabei verliert die Rakete durch die Verbrennung des Treibstoffs ständig an Masse. (© NASA.)

?Welche Beschleunigungen wirken bei einem Raketenstart und welche Endgeschwindigkeit kann eine Rakete erreichen? (Siehe Beispiel 7.14.)

Appendices

Im Kontext: PDE-Triebwerke: Schneller (und lauter)

Raketenantriebe, die mit Flüssigtreibstoff arbeiten, benötigen teure, empfindliche Pumpen, um den Brennstoff unter sehr hohem Druck in der Brennkammer des Schubrohrs zu zünden. Die meisten Strahlantriebe sind Gasturbinen mit vielen beweglichen Teilen, die sehr engen Toleranzen genügen müssen und einen entsprechenden Wartungsaufwand verursachen. Raumfahrt- und Luftfahrtingenieure wünschen sich Antriebe mit weniger bewegten Teilen, die ihren Brennstoff effizienter ausnützen und sich in einem weiten Geschwindigkeitsbereich einsetzen lassen.

Diese Anforderungen können PDE-Triebwerke (pulse detonation engines) vielleicht erfüllen, die den Schub durch Detonation erzeugen und nicht, wie die Verpuffungs- oder Pulsstrahlstriebwerke, durch Deflagration.

In beiden Fällen wird durch die schlagartige Verbrennung des Treibstoff-Luft-Gemischs Schub erzeugt. Deflagrationen sind Verpuffungen, bei denen sich im Treibstoff-Luft-Gemisch die Luft auf Zündtemperatur erhitzt und die Flammenfront sich im Gemisch langsamer als der Schall ausbreitet. Beispiele für Deflagration treten bei Feuerwerk, in richtig eingestellten Verbrennungsmotoren oder bei einem Holzkohlegrill mit zu viel flüssigem Anzünder auf. Detonationen dagegen sind mit einem Explosionsknall verbunden und breiten sich schneller als der Schall aus – manchmal sogar erheblich schneller –, indem eine Stoßwelle die Luft komprimiert und das Medium zündet. Sprengstoffe detonieren. Sie werden beispielsweise im Bergbau oder bei Abbruchunternehmen eingesetzt; auch bei „Fehlzündungen“ in einem nicht richtig eingestellten Verbrennungsmotor handelt es sich um Detonationen.

Experimentelles PDE-Triebwerk in einem sogenannten Entenflugzeug, dem von Burt Rutan entworfenen Modell Vari-Eze. (© Tim Anderson.)

Das PDE-Triebwerk besteht aus einem einseitig geschlossenen Rohr. Luft und Treibstoff werden in die Brennkammer am geschlossenen Ende geleitet und durch einen Funken gezündet. Dadurch beginnt eine Deflagration. Während sich die Deflagration über die komplizierte innere Oberfläche${}^{1}$ des Schubrohrs ausbreitet, wird das Treibstoff-Luft-Gemisch an der Flammenfront rasch komprimiert und setzt eine Detonation in Gang. Im Zuge der Explosion breitet sich die Stoßfront erheblich schneller als der Schall aus. In verschiedenen Laboratorien hat man Detonationsfronten mit bis zu fünffacher Schallgeschwindigkeit (Mach 5) gemessen.${}^{2}$ Die Abgase verlassen das offene Ende des Schubrohrs mit sehr hoher Geschwindigkeit. Dadurch haben sie einen höheren Schubimpuls als bei einer Deflagration derselben Treibstoffmenge. Der Kraftstoß bei einer Detonation kann doppelt so hoch sein wie bei einer Deflagration.${}^{3}$

Die einzigen bewegten Teile in einem PDE-Triebwerk sind die Ventile, durch die die Treibstoff-Luft-Mischung eingelassen wird. Für die Zündung kann man beispielsweise eine Zündkerze wie in einem Automotor verwenden, und der Rest des Triebwerks besteht nur aus dem Schubrohr. Damit sieht das Triebwerk auf den ersten Blick ganz einfach aus. Aber Verbrennungsprozesse sind schwierig zu kontrollieren, und die Verbrennung in einem PDE-Triebwerk läuft dazu extrem schnell ab. Um ein Flugzeug oder eine Rakete anzutreiben, müssten im Triebwerk viele Detonationen pro Sekunde ablaufen, so wie ein Automotor auch viele Verbrennungstakte pro Sekunde benötigt, um den Wagen anzutreiben. In Belastungstests wurden für mehrere Minuten oder Stunden etwa 80 Detonationen pro Sekunde erreicht, ideal wären dagegen mehrere Hundert pro Sekunde${}^{4}$ – und das über einen langen Zeitraum. Diese hohe Zahl von Detonationen pro Sekunde steuert man bei PDE-Triebwerken ohne Ventile durch eine Art Einlass-Jalousie und die Geometrie des Rohrs, die für schnell pulsierende Zündfronten sorgen.

Doch eine Detonation ist ein gewaltiger Explosionsknall; sie ist extrem laut und lässt das Triebwerk noch mehr vibrieren als die bekannten Strahl- und Raketentriebwerke.${}^{5}$ Diese zusätzlichen Schwingungen können gefährlich für Raketen und Flugzeuge sein. Durch den erzeugten Lärm sind die PDE-Triebwerke nicht für Fahrzeuge mit Menschen an Bord geeignet. Schließlich wurden bislang immer schwere Schubrohre eingesetzt, in deren Brennkammer die Detonationen ablaufen. Für Flugzwecke müssen die Rohre jedoch leichtgewichtig sein und dabei doch stabil genug, um den Detonationen standzuhalten.

Bislang sind keine Flugzeuge mit PDEs geflogen, doch die Idee eines preiswerten Triebwerks für Flugzeuge und Raketen, das Schub über einen weiten Bereich produziert und dabei den Treibstoff effizienter ausnützt als vorhandene Triebwerke, ist reizvoll genug für weitere Forschungen.

• 1. Paxson, D. E., Rosenthal, B. N., Sgondea, A., Wilson, J., „Parametric Investigation of Thrust Augmentation by Ejectors on a Pulsed Detonation Tube“, Vortrag auf der 41${}^{\mathrm{st}}$ Joint Propulsion Conference, 2005, Tucson, AZ.

• 2. Borisov, A. A., Frolov, S. M., Netzer, D. W., Roy, G. D., „Pulse Detonation Propulsion: Challenges, Current Status, and Future Perspective.“ Progress in Energy and Combustion Science 30 (2004) 545–672.

• 3. „Detonation Initiation and Impulse Measurement.“ Explosion Dynamics Laboratory: Pulse Detonation Engines, http://www.galcit.caltech.edu/EDL/projects/pde/pde.html (Stand: März 2009).

• 4. Kandebo, Stanley W., „Taking the Pulse.“ Aviation Week and Space Technology, 160:10 (8. März 2004), 32–33.

• 5. Borisov et al., a. a. O.

Aufgaben

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=}\text{9{,}81 m/s${}^{\mathbf{2}}$}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 7.1 •• 

Ein 2,5 kg schwerer Körper hängt ruhig an einem Seil, das an der Decke befestigt ist. a) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm des Körpers, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und sagen Sie, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. b) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm des Seils, benennen Sie die Reaktionskraft zu jeder eingezeichneten Kraft und sagen Sie, auf welchen Körper diese jeweils wirkt. Die Masse des Seils ist hier nicht zu vernachlässigen.

1.1.2 7.2 •• 

Nennen Sie jeweils ein Beispiel für folgende Konfigurationen: a) einen dreidimensionalen Körper, in dessen Massenmittelpunkt sich keine Masse befindet, b) einen Festkörper, dessen Massenmittelpunkt außerhalb des Körpers liegt, c) eine Vollkugel, deren Massenmittelpunkt nicht in ihrer geometrischen Mitte liegt, d) einen langen Holzstock, dessen Massenmittelpunkt nicht in der Mitte liegt.

1.1.3 7.3 •• 

Ein geworfener Bumerang „fliegt“ eine Weile gleichförmig geradlinig horizontal, wobei er sich im Flug rasch dreht. Zeichnen Sie mehrere Skizzen des Bumerangs in der Draufsicht in verschiedenen Drehstellungen auf seinem Weg parallel zur Erdoberfläche. Zeichnen Sie in jede Skizze den Ort des Massenmittelpunkts des Bumerangs ein und verbinden Sie diese Punkte, um die Trajektorie seines Massenmittelpunkts zu verfolgen. Wie wird der Massenmittelpunkt während dieses Abschnitts des Flugs beschleunigt?

1.1.4 7.4 •• 

Ein Auto wird auf ebener Straße aus dem Stand beschleunigt, ohne dass die Räder durchdrehen. Erläutern Sie anhand des Zusammenhangs zwischen Gesamtmassenmittelpunktsarbeit und kinetischer Energie der Translation sowie von Kräftediagrammen genau, welche Kraft bzw. welche Kräfte direkt für den Zuwachs an kinetischer Energie der Translation des Autos und des Fahrers verantwortlich sind. (Hinweis: Der Zusammenhang betrifft nur äußere Kräfte, sodass „der Motor“ nicht die richtige Antwort ist. Wählen Sie in jedem Fall das richtige „System“.)

1.1.5 7.5 •• 

Ein fleißiger Student stolpert über die Frage: „Wenn nur äußere Kräfte den Massenmittelpunkt eines Teilchensystems beschleunigen können, wie kann sich dann ein Auto bewegen? Normalerweise glauben wir, dass der Motor des Wagens die Beschleunigungskraft liefert, aber ist das auch wahr?“ Erläutern Sie, welche äußere Ursache die Kraft zur Beschleunigung des Wagens liefert, und erklären Sie, was der Motor mit dieser Ursache zu tun hat.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

1.2.1 7.6 •• 

Ein Holzklotz und ein Revolver werden an den entgegengesetzten Enden eines langen Gleiters befestigt, der sich reibungsfrei auf einer Luftkissenbahn bewegen kann (Abbildung 7.46). Der Holzklotz und der Revolver sind die Strecke l voneinander entfernt. Das System ist anfangs in Ruhe. Wenn der Revolver abgefeuert wird, verlässt die Kugel den Lauf mit der Geschwindigkeit $v_{\mathrm{K}}$, trifft auf den Holzklotz und bleibt darin stecken. Die Kugel hat die Masse $m_{\mathrm{K}}$, das Gesamtsystem aus Holzklotz, Revolver und Gleiter die Masse $m_{\mathrm{G}}$. a) Welche Geschwindigkeit hat der Gleiter unmittelbar nachdem die Kugel den Lauf verlassen hat? b) Welche Geschwindigkeit hat der Gleiter unmittelbar nachdem die Kugel in dem Holzklotz stecken geblieben ist? c) Wie weit bewegt sich der Gleiter in der Zeit, in der die Kugel sich zwischen dem Revolverlauf und dem Holzklotz befindet?

Abb. 7.46

Zu Aufgabe 7.6.

1.3 Mehrkörperprobleme

1.3.1 7.7 •• 

Zwei Blöcke der Massen m ₁ und m ₂ sind durch ein masseloses Seil miteinander verbunden. Sie werden, wie in Abbildung 7.47 gezeigt, beide gleichmäßig durch die Zugkraft in einem weiteren horizontalen Seil auf einer reibungsfreien Fläche gezogen. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm beider Blöcke einzeln und zeigen Sie, dass $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S,1}}|/|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S,2}}|=m_{1}/(m_{1}+m_{2})$ ist. b) Ist dieses Ergebnis plausibel? Erläutern Sie Ihre Auffassung. Prüfen Sie, dass Ihre Antwort sowohl im Fall $m_{2}/m_{2}\gg 1$ als auch im Fall $m_{2}/m_{2}\ll 1$ sinnvoll ist, und erläutern Sie, weshalb.

Abb. 7.47

Zu Aufgabe 7.7.

1.3.2 7.8 •• 

Ein Block der Masse $m_{2}=\text{3{,}5\,kg}$ liegt auf einem reibungsfreien, horizontalen Brett und ist über zwei Seile mit zwei Blöcken der Massen $m_{1}=\text{1{,}5\,kg}$ und $m_{3}=\text{2{,}5\,kg}$ verbunden (Abbildung 7.48). Beide Rollen seien reibungsfrei und masselos. Das System wird aus der Ruhe losgelassen. Ermitteln Sie anschließend a) die Beschleunigung der beiden Blöcke und b) die Zugkraft in den beiden Seilen.

Abb. 7.48

Zu Aufgabe 7.8.

1.3.3 7.9 •• 

Ein Block der Masse m wird durch ein homogenes Seil der Masse $m_{\mathrm{S}}$ und der Länge $l_{\mathrm{S}}$ vertikal angehoben. Das Seil wird durch eine Kraft an seinem oberen Ende nach oben gezogen, wobei das Seil und der Block zusammen mit der Beschleunigung a nach oben beschleunigt werden. Zeigen Sie, dass der Betrag der Zugkraft im Seil in einer Höhe x (mit $x<l_{\mathrm{S}}$) über dem Block durch $(a+g)\,[m+(x/l_{\mathrm{S}})\,m_{\mathrm{S}}]$ gegeben ist.

1.3.4 7.10 •• 

Zwei Körper sind, wie in Abbildung 7.49 gezeigt, über ein masseloses Seil miteinander verbunden. Die geneigte Ebene und die Rolle seien reibungsfrei. Ermitteln Sie die Beschleunigung der Körper und die Zugkraft im Seil a) allgemein für beliebige θ, m ₁ und m ₂ und b) für $\theta=30^{\circ}$ und $m_{1}=m_{2}=\text{5{,}0\,kg}$.

Abb. 7.49

Zu Aufgabe 7.10.

1.3.5 7.11 •• 

Der Apparat in Abbildung 7.50 wird Atwood’sche Fallmaschine genannt und dient zur Ermittlung der Erdbeschleunigung g. Dazu wird die Beschleunigung der beiden durch ein Seil über einer Rolle verbundenen Gewichte gemessen. Dabei geht man von einer masselosen, reibungsfreien Rolle sowie von einem masselosen Seil aus. a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm jedes Blocks. b) Zeigen Sie unter Verwendung der Kräftediagramme beider Körper und des zweiten Newton’schen Axioms, dass sich die Beträge der Beschleunigung der Körper und der Zugkraft des Seils wie folgt berechnen:

$$a=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,g\quad\text{und}\quad F_{\mathrm{S}}=\frac{2\,m_{1}\,m_{2}\,g}{m_{1}+m_{2}}.$$

c) Prüfen Sie, dass diese Ergebnisse für $m_{1}=m_{2}$, im Grenzwert $m_{1}\gg m_{2}$ und im Grenzwert $m_{1}\ll m_{2}$ sinnvolle Ergebnisse liefern, und erläutern Sie, weshalb.

Abb. 7.50

Zu Aufgabe 7.11 bis 7.13.

1.3.6 7.12 •• 

Eine der Massen in der Atwood’schen Fallmaschine aus Abbildung 7.50 sei 1,2 kg. Wie groß muss die andere Masse sein, damit die Verschiebung einer der beiden Massen in der ersten Sekunde nach dem Loslassen 0,30 m beträgt?

1.3.7 7.13 ••• 

Die Schwerebeschleunigung g kann dadurch bestimmt werden, dass die Zeit t gemessen wird, die es dauert, bis die Masse m ₂ in der in Aufgabe 7.11 beschriebenen Atwood’schen Fallmaschine aus der Ruhe eine Strecke l fällt. a) Ermitteln Sie anhand der Ergebnisse aus Aufgabe 7.11 einen Ausdruck für g als Funktion von $l,t,m_{1}$ und m ₂. Beachten Sie, dass die Beschleunigung konstant ist. b) Zeigen Sie, dass ein kleiner Fehler in der Zeitmessung $\,\mathrm{d}t$ zu einem Fehler $\,\mathrm{d}g/g=-2\,\,\mathrm{d}t/t$ in g führt. c) Wir nehmen an, dass die einzige wichtige Unsicherheit der experimentellen Messwerte die Fallzeit ist. Es sei $l=\text{3{,}00\,m}$ und $m_{1}=\text{1{,}00\,kg}$. Ermitteln Sie denjenigen Wert von m ₂, bei dem g mit einer Genauigkeit von $\pm 5\,\%$ gemessen werden kann, wenn die Zeitmessung auf $\pm\text{0{,}1\,s}$ genau ist.

1.3.8 7.14 ••• 

Abbildung 7.51 zeigt einen 20-kg-Block, der auf einem 10-kg-Block gleitet. Alle Oberflächen seien reibungsfrei und die Rolle sei masselos und ebenfalls reibungsfrei. Gesucht sind die Beschleunigungen beider Blöcke sowie die Zugkraft des Seils, das die Blöcke verbindet.

Abb. 7.51

Zu Aufgabe 7.14.

1.4 Massenmittelpunktsystem

1.4.1 7.15 • 

Drei Kugeln A, B und C mit Massen von 3,0 kg, 1,0 kg und 1,0 kg sind wie in Abbildung 7.52 gezeigt durch masselose Stäbe miteinander verbunden. Welche Koordinaten hat der Massenmittelpunkt?

Abb. 7.52

Zu Aufgabe 7.15.

1.4.2 7.16 • 

Bestimmen Sie mithilfe von Symmetrieüberlegungen den Massenmittelpunkt einer homogenen Platte in Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. Ein Eckpunkt des Dreiecks befindet sich auf der y-Achse, und die beiden anderen Eckpunkte sind bei $(-a/2,\,0)$ und $(+a/2,\,0)$.

1.4.3 7.17 • 

Zwei Teilchen von je 3,0 kg haben die Geschwindigkeiten $\boldsymbol{v}_{1}=\text{(2{,}0 m/s)}\,\boldsymbol{\widehat{x}}\,+\,\text{(3{,}0 m/s)}\,\boldsymbol{\widehat{y}}$ und $\boldsymbol{v}_{2}=\text{(4{,}0 m/s)}\,\boldsymbol{\widehat{x}}\,-\,\text{(6{,}0 m/s)}\,\boldsymbol{\widehat{y}}$. Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor für den Massenmittelpunkt des Systems.

1.4.4 7. 18 • 

Beschreiben Sie einen vollständig inelastischen zentralen Stoß zwischen zwei Autos im Schwerpunktsystem.

1.4.5 7.19 •• 

Eine zylinderförmige Dose der Masse m und der Höhe h ist mit Wasser gefüllt. Anfangs hat das Wasser in der Dose ebenfalls die Masse m. Jetzt wird ein Loch in den Boden geschlagen, und das Wasser tropft heraus. a) In welcher Höhe liegt der Massenmittelpunkt der mit dem restlichen Wasser gefüllten Dose, wenn der Wasserspiegel die Höhe x hat? b) Welche Höhe unterschreitet der Massenmittelpunkt nicht, wenn das Wasser herausläuft?

1.4.6 7.20 •• 

Ein Auto fährt nachts auf einer Landstraße. Gerade als das Auto aus einer 90 km/h-Zone in eine 80 km/h-Zone fährt, springt plötzlich ein Reh aus dem Wald und bleibt mitten auf der Fahrbahn stehen. Direkt beim Geschwindigkeitsbegrenzungszeichen bremst der Fahrer scharf, sodass die Bremsen blockieren, und kommt wenige Zentimeter vor dem erschrockenen Reh zum Stehen. Als er sich von seinem Schreck erholt hat, hört er die Sirene eines Polizeiwagens. Der Polizeibeamte verpasst dem Fahrer einen Strafzettel, da er mit 92 km/h in einer 80 km/h-Zone gefahren sein soll. Der Fahrer, der sich etwas mit Physik auskennt, verweist auf die 25 m langen Bremsspuren seines Autos und bestreitet, mit überhöhter Geschwindigkeit gefahren zu sein. Wie geht er dabei vor? (Sie benötigen den Gleitreibungskoeffizienten zwischen den Autoreifen und trockenem Beton aus Tabelle 4.1).

1.4.7 7.21 •• 

Ein Block von 3,0 kg bewegt sich mit 5,0 m/s nach rechts (in positive x-Richtung), ein zweiter Block von 3,0 kg mit 2,0 m/s nach links. a) Berechnen Sie die kinetische Gesamtenergie der beiden Blöcke. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts des Systems aus den beiden Blöcken. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Blöcke bezüglich des Massenmittelpunkts. d) Berechnen Sie die kinetischen Energien für die Bewegungen der beiden Blöcke bezüglich des Massenmittelpunkts. e) Zeigen Sie, dass der Wert bei Aufgabenteil a größer ist als der Wert bei Aufgabenteil d, und zwar um einen Beitrag, der gleich der kinetischen Energie ist, die mit der Bewegung des Massenmittelpunkts zusammenhängt.

1.4.8 7.22 •• 

Wiederholen Sie die vorstehende Aufgabe; der zweite Block soll nun jedoch eine Masse von 5,0 kg haben und sich mit 3,0 m/s nach rechts bewegen.

1.4.9 7.23 •• 

Im Schwerpunktsystem stößt ein Teilchen mit der Masse m ₁ und dem Impuls p ₁ elastisch zentral mit einem zweiten Teilchen zusammen, das die Masse m ₂ und den Impuls $p_{2}=-p_{1}$ hat. Nach dem Stoß hat das erste Teilchen den Impuls $p_{1}^{\prime}$. Geben Sie die anfängliche kinetische Gesamtenergie in Abhängigkeit von m ₁, m ₂ und p ₁ sowie die kinetische Gesamtenergie nach dem Stoß in Abhängigkeit von m ₁, m ₂ und $p_{1}^{\prime}$ an; zeigen Sie, dass $p_{1}^{\prime}=\pm p_{1}$. Für $p_{1}^{\prime}=-p_{1}$ kehrt sich für das Teilchen nur die Richtung um, aber der Betrag seiner Geschwindigkeit bleibt gleich. Welche Situation liegt für die Lösung mit $p_{1}^{\prime}=+p_{1}$ vor?

1.4.10 7.24 ••• 

In der Atwood’schen Fallmaschine aus Abbildung 7.53 gleitet das Seil reibungsfrei über die Oberfläche eines festen Zylinders der Masse $m_{\mathrm{Z}}$, sodass sich der Zylinder nicht dreht. a) Ermitteln Sie die Beschleunigung des Massenmittelpunkts für das Gesamtsystem aus den zwei Klötzen und dem Zylinder. b) Ermitteln Sie mithilfe des zweiten Newton’schen Axioms für Systeme die Kraft F, die von dem Träger ausgeübt wird. c) Ermitteln Sie die Zugkraft $|F_{\text{S}}|$ auf das Seil zwischen den beiden Klötzen und zeigen Sie, dass $|F|=m_{\mathrm{Z}}\,g+2\,F_{\text{S}}$ ist.

Abb. 7.53

Zu Aufgabe 7.24.

1.5 Raketen- und Strahlantrieb

1.5.1 7.25 •• 

Ein frei rollender Eisenbahnwaggon passiert eine Getreideverladeeinrichtung, die mit konstanter Rate (Masse pro Zeiteinheit) Korn in den Waggon befördert. a) Wird der Waggon wegen der Impulserhaltung langsamer, während er die Ladeeinrichtung passiert? Das Gleis soll reibungsfrei und völlig eben sein, das Getreide soll vertikal auf den Waggon fallen. b) Wenn der Waggon langsamer wird, muss es eine äußere Kraft geben, die ihn abbremst. Woher kommt diese Kraft? c) Nachdem der Waggon beladen ist, entsteht im Waggonboden ein Loch, und das Getreide fällt mit konstanter Rate aus dem Waggon heraus. Wird der Waggon schneller, während er seine Ladung verliert?

1.5.2 7.26 •• 

Eine Rakete verbrennt 200 kg Treibstoff pro Sekunde und stößt die Gase mit einer Geschwindigkeit von 6,00 km/s relativ zur Rakete aus. Wie hoch ist der Schub der Rakete?

1.5.3 7.27 •• 

Eine Rakete hat eine Startmasse von 30 000 kg, wovon 80 % Treibstoff sind. Sie verbrennt den Treibstoff mit einer Rate von 200 kg/s und stößt die Gase mit einer relativen Geschwindigkeit von 1,80 km/s aus. Berechnen Sie a) den Schub der Rakete, b) die Zeitdauer bis zum Brennschluss und c) die Geschwindigkeit beim Brennschluss unter der Voraussetzung, dass die Rakete senkrecht nach oben fliegt und so dicht an der Erdoberfläche bleibt, dass die Erdbeschleunigung g konstant ist.

1.6 Allgemeine Aufgaben

1.6.1 7.28 •• 

An einer 1,5 m langen homogenen Kette, die an der Decke befestigt ist, hängt ein Block mit einer Masse von 50 kg. Die Eigenmasse der Kette beträgt 20 kg. Bestimmen Sie die Zugkraft in der Kette a) an dem Punkt, an dem die Kette an dem Block befestigt ist, b) in der Mitte der Kette und c) am Befestigungspunkt an der Decke.

1.6.2 7.29 •• 

Eine reibungsfreie Fläche ist unter einem Winkel von $30{,}0^{\circ}$ gegen die Horizontale geneigt. Ein 270-g-Block auf der geneigten Ebene ist über ein Seil und eine Rolle mit einem frei hängenden Gewicht mit einer Masse von 75,0 g verbunden (Abbildung 7.54). a) Zeichnen Sie zwei Kräftediagramme, je eines für den 270-g-Block und für das 75,0-g-Gewicht. b) Berechnen Sie die Zugkraft im Seil und die Beschleunigung des 270-g-Blocks. c) Der 270-g-Block, der anfangs ruht, wird plötzlich losgelassen. Wie lange dauert es, bis er eine Strecke von 1,00 m gerutscht ist? Gleitet er auf der geneigten Ebene nach oben oder nach unten?

Abb. 7.54

Zu Aufgabe 7.29.

1.6.3 7.30 •• 

Ein 2,0 kg-Block ruht auf einem reibungsfreien Keil mit einer Neigung von $60^{\circ}$.

Abb. 7.55

Zu Aufgabe 7.30.

Der Keil wird mit einer Beschleunigung a nach rechts beschleunigt, deren Betrag so groß ist, dass der Block seine Lage relativ zum Keil beibehält (Abbildung 7.55). a) Zeichnen Sie das Kräftediagramm des Blocks und bestimmen Sie mit seiner Hilfe den Betrag der Beschleunigung. b) Was würde passieren, wenn der Keil stärker beschleunigt würde? Was würde geschehen, wenn er schwächer beschleunigt würde?

1.6.4 7.31 •• 

Eine kleine Kugel mit der Masse m ₁ bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius r auf einer reibungsfreien horizontalen Tischplatte (Abbildung 7.56). Über einen Faden, der durch ein Loch in der Tischplatte verläuft, ist sie mit einem Gewicht m ₂ verbunden. Wie hängt r von m ₁, m ₂ und der Zeit für einen Umlauf T ab?

Abb. 7.56

Zu Aufgabe 7.31.

1.6.5 7.32 •• 

In einer kreisförmigen Platte vom Radius r ist ein kreisförmiges Loch vom Radius $r/2$ ausgeschnitten (Abbildung 7.57). Ermitteln Sie den Massenmittelpunkt der Platte. (Hinweis: Die Platte kann als zwei übereinandergelegte Scheiben modelliert werden, wobei das Loch als eine Scheibe mit negativer Masse betrachtet wird.)

Abb. 7.57

Zu Aufgabe 7.32.

1.6.6 7.33 ••• 

Die Rolle einer idealen Atwood’schen Fallmaschine wird mit der Beschleunigung a nach oben beschleunigt (Abbildung 7.58). Ermitteln Sie die Beschleunigung der Gewichte und die Zugkraft des Verbindungsseils. In dieser Situation sind die Geschwindigkeiten beider Blöcke nicht gleich.

Abb. 7.58

Zu Aufgabe 7.33.