Energie und Arbeit

Zusammenfassung

Bisher haben wir die Bewegung von Körpern anhand ihres Orts, ihrer Geschwindigkeit, ihrer Beschleunigung und der auf sie wirkenden Kräfte untersucht. Manche Bewegungsformen lassen sich jedoch mit den Newton’schen Axiomen nur schwer beschreiben. Halten Sie sich z. B. die Bewegung eines Körpers im Gravitationsfeld noch einmal vor Augen. Daher werden wir in diesem Kapitel alternative Verfahren zur Behandlung der Bewegung kennenlernen, die auf zwei weiteren physikalischen Größen, der Energie und der Arbeit beruhen. Anders als die Kraft, die eine vektorielle Größe ist, sind die Energie und die Arbeit skalare Größen, durch die Teilchen und Teilchensysteme charakterisiert werden können. Oft wird zur Bewegungsbeschreibung der Energieerhaltungssatz genutzt. Er ist eines der wichtigsten Grundprinizipien in der Wissenschaft überhaupt und besagt, dass die Gesamtenergie eines Systems einschließlich seiner Umgebung immer konstant bleibt.

Während der Achterbahnwagen durch Loopings rast und in die Tiefe stürzt, finden zahlreiche Energieumwandlungen statt. Wenn der Wagen mit den Mitfahrern an den höchsten Punkt der Bahn gezogen wird, wird vom Elektrizitätswerk bezogene Elektroenergie in potenzielle Energie der Gravitation umgewandelt. Wenn er anschließend die steile Abfahrt herunterrast, wird diese potenzielle Energie der Gravitation in kinetische Energie und in Wärmeenergie umgewandelt. Dabei steigen sowohl die Temperatur des Wagens als auch die der Umgebung etwas an. (© C. Lettan/pixelio.)

?Wie lässt sich aus einer Betrachtung der Energieumwandlungen darauf schließen, wie hoch die Wagen zu Beginn gezogen werden müssen, damit sie die Fahrt durch den Looping schaffen? (Siehe Beispiel 5.18.)

Appendices

Im Kontext: Achterbahnen , Gepäck und Arbeit

Die Gepäcktransporteinrichtungen auf einigen Großflughäfen haben viel mit Achterbahnen gemeinsam. Lang anhaltende hohe Beschleunigungsänderungen sind sowohl für Achterbahnfahrer als auch für Gepäck schädlich. In beiden Fällen soll die Bewegung zwar schnell erfolgen, aber nicht schlagartig anziehen oder anhalten.

Einige Achterbahnwagen beziehen – ebenso wie einige Gepäcktransportwagen – ihre kinetische Energie durch elektromagnetische Antriebskräfte, wie sie ähnlich auch beim Transrapid zum Einsatz kommen. Diese Kräfte werden von Anordnungen von Linearinduktionsmotoren (LIM ) erzeugt. Ein LIM erzeugt eine Kraft auf elektromagnetischem Weg, ohne bewegliche Teile zu besitzen.${}^{1}$ Der Hauptgrund für die Verwendung von Linearinduktionsmotoren ist die Flexibilität, mit der während der Fahrt an zuvor berechneten Orten Kraft auf den Achterbahn- bzw. Gepäcktransportwagen angewendet werden kann. Beide fahren auf Schienen, die mit Sensoren zur Bestimmung der Geschwindigkeit der Wagen ausgestattet sind. Die Sensoren übermitteln diese Geschwindigkeit an die Steuereinheiten für die Motoren. Wenn das Fahrzeug die Sollgeschwindigkeit erreicht hat, können die LIMs abgeschaltet werden. In beiden Fällen sind außerdem einige LIMs so angeschlossen, dass sie die Fahrzeuge abbremsen, indem sie auf sie Kräfte ausüben, die entgegengesetzt zu ihrer Bewegungsrichtung wirken.

„Speed – The Ride“ heißt eine Achterbahn, die vom NASCAR-Café im Hotel und Casino Sahara in Las Vegas abfährt. Die Konstruktionsfirma, die Ingenieurbüro Stengel GmbH, hat an drei Stellen an der Bahn 88 Motoren angebracht. Die erste Motoranordnung startet den Wagenzug, der aus sechs Einzelwagen besteht und in dem 24 Mitfahrer Platz nehmen können. Dabei wird er in 2,0 s stetig auf 72 km/h beschleunigt. Anschließend fährt er um eine Kurve und stürzt 7,5 m unter das Bodenniveau, bevor er zu steigen beginnt und schließlich durch einen spiralförmigen Looping fährt.${}^{2}$ Nachdem er den Looping verlassen hat, wirken auf ihn die Kräfte des zweiten LIM, sodass sich seine kinetische Energie in 2,0 s vervierfacht.${}^{3}$ Nun fährt der Wagen den Las Vegas Boulevard entlang und rast schließlich 61 m eine fast senkrechte Ebene hinauf. Zur Sicherheit kann der Wagenzug am Gipfel durch eine Reihe von LIMs bei Bedarf abgebremst werden. Anschließend fährt er die gesamte Strecke zurück. Wenn er wieder in der Station ankommt, wirken die dort angebrachten LIMs als Bremsen, die ihn zum Stehen bringen.

Außer den Kräften der LIMs wirken auf den Achterbahnzug die Gravitationskraft, die Reibungskraft und die Normalkraft. Auch wenn der Anfangs- und der Endpunkt nicht für jeden Wagen dieselben sind, fährt jeder Wagen auf derselben Bahn. Die maximale Beschleunigung eines Mitfahrers beträgt $3{,}5\,g$. Dies ist gar nicht so viel: Die Momentanbeschleunigung, wenn man am Kopf von einem Kissen getroffen wird, kann mehr als $20\,g$ betragen.${}^{4}$

Am Londoner Großflughafen Heathrow International Airport muss häufig Gepäck zwischen den beiden Terminals 1 und 4 transportiert werden. Die beiden Terminals sind mehr als 1,0 km voneinander entfernt, und dazwischen liegt zudem eine Startbahn. Jedes Gepäckstück wird auf ein kleines Wägelchen geladen, das auf Schienen fährt. Die Geschwindigkeiten dieser Wägelchen werden durch an den Schienen angebrachte LIMs gesteuert. Zunächst fahren diese Wägelchen eine steile Neigung hinab und erreichen schließlich die Ebene eines Tunnels 20 m unter der Erde. Durch diesen Tunnel fahren sie mit 30 km/h, wobei sie durch äquidistante LIMs auf dieser Geschwindigkeit gehalten werden. Am Ende des Tunnels steigen die Wägelchen bis zum richtigen Geschoss des anderen Terminals.

Die Geschwindigkeiten der Wägelchen, die das Gepäck zwischen den Terminals am Heathrow International Airport transportieren, werden durch Linearinduktionsmotoren gesteuert. (© Vanderlande Industries.)

• 1. „Whoa! Linear motors blast Vegas Coaster straight up“, Machine Design, 4. Mai 2000, Bd. 28; „Sectors“ EI-WHS, http://machinedesign.com/ContentItem/70509/WhoaLinearMotorsBlastVegasCoasterStraightUp.aspx (Stand: April 2006); „Baggage Handling Case Study“, Force Engineering, http://www.force.co.uk/bagcase.htm (Stand: April 2006); „Leisure Rides“ Force Engineering, http://www.force.co.uk/leishome.htm (Stand: April 2006).

• 2. „Roller coaster constructor Werner Stengel receives honorary doctorate at Göteborg University“, Göteborg University, Faculty of Science, http://www2.science.gu.se/english/werner_stengel.shtml (Stand: April 2006).

• 3. „Speed Facts“, Sahara Hotel and Casino, http://www.saharavegas.com/NASCAR/SPEED-facts/ (Stand: August 2008).

• 4. Exponent Failure Analysis Associates, Investigation of Amusement Park and Roller Coaster Injury Likelihood and Severity: 48. http://www.emerson-associates.com/safety/articles/ExponentReport.pdf (Stand: April 2006).

Aufgaben

Bei allen Aufgaben sei die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{|\boldsymbol{a}_{\text{G}}|}\boldsymbol{=}\boldsymbol{g}\boldsymbol{=}\boldsymbol{9{,}81\,\text{m/s}^{2}}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 5.1 • 

Richtig oder falsch? a) Nur die Gesamtkraft, die an einem Körper angreift, kann Arbeit verrichten. b) An einem Teilchen, das ruht, wird keine Arbeit verrichtet. c) Eine Kraft, die stets senkrecht zur Geschwindigkeit eines Teilchens steht, verrichtet an ihm keine Arbeit.

1.1.2 5.2 • 

Um welchen Faktor ändert sich die kinetische Energie eines Teilchens, wenn seine Geschwindigkeit verdoppelt, seine Masse aber halbiert wird?

1.1.3 5.3 • 

Nennen Sie ein Beispiel für ein Teilchen, das konstante kinetische Energie hat, aber dennoch beschleunigt wird. Kann sich die kinetische Energie eines Teilchens, das nicht beschleunigt wird, ändern? Nennen Sie ein Beispiel, falls dies zutrifft.

1.1.4 5.4 • 

Vergleichen Sie die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine entspannte Feder 2,0 cm zu dehnen, mit der Arbeit, die erforderlich ist, um sie 1,0 cm zu dehnen.

1.1.5 5.5 • 

Richtig oder falsch? a) Da die Gravitationskraft keine Kontaktkraft ist, kann sie an einem Körper keine Arbeit verrichten. b) Die Haftreibungskraft kann nie an einem Körper Arbeit verrichten. c) Wenn ein (negativ geladenes) Elektron von einem (positiv geladenen) Atomkern weiter entfernt wird, verrichtet die auf das Elektron nach außen wirkende Kraft eine positive Arbeit. d) Die Arbeit, die an einem Teilchen verrichtet wird, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, ist notwendig null.

1.1.6 5.6 • 

Richtig oder falsch? a) Nur konservative Kräfte können Arbeit verrichten. b) Solange nur konservative Kräfte wirken, ändert sich die kinetische Energie eines Teilchens nicht. c) Die Arbeit, die eine konservative Kraft verrichtet, ist gleich der von dieser Kraft herrührenden Änderung der potenziellen Energie. d) Falls die potenzielle Energie einer konservativen Kraft für ein Teilchen, dessen Bewegung auf die x-Achse beschränkt ist, abnimmt, während sich das Teilchen nach rechts bewegt, zeigt die Kraft nach links. e) Falls eine konservative Kraft für ein Teilchen, dessen Bewegung auf die x-Achse beschränkt ist, nach rechts zeigt, nimmt die potenzielle Energie dieser konservativen Kraft zu, wenn sich das Teilchen nach links bewegt.

1.1.7 5.7 • 

Abbildung 5.46 zeigt einen Verlauf der potenziellen Energie $E_{\mathrm{pot}}$ in Abhängigkeit von x. a) Geben Sie für alle gezeigten Punkte an, ob die x-Komponente der Kraft, die zu dieser potenziellen Energie gehört, positiv, negativ oder null ist. b) An welchem der Punkte besitzt die Kraft den größten Betrag? c) Ermitteln Sie alle Gleichgewichtslagen und geben Sie jeweils an, ob es sich um ein stabiles, ein labiles oder ein indifferentes Gleichgewicht handelt.

Abb. 5.46

Zu Aufgabe 5.7.

1.1.8 5.8 • 

Zwei Steine werden gleichzeitig und gleich schnell vom Dach eines Gebäudes geworfen, der eine davon unter einem Winkel von 30${}^{\circ}$ nach oben und der andere genau horizontal. Welche Aussage trifft zu? a) Beide Steine treffen zugleich und mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag auf dem Boden auf. b) Die Steine treffen zugleich, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeitsbeträgen auf. c) Die Steine treffen nacheinander mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag auf. d) Die Steine treffen nacheinander mit unterschiedlichen Geschwindigkeitsbeträgen auf.

1.1.9 5.9 • 

Wir nehmen an, dass die Straße beim Bremsen eine konstante Reibungskraft auf die Räder eines Autos ausübt. Welche Aussage trifft dann zwangsläufig zu? a) Der Bremsweg ist proportional zur Geschwindigkeit, die das Auto hatte, bevor die Bremsung eingeleitet wurde. b) Die kinetische Energie des Autos nimmt mit einer konstanten Rate ab. c) Die kinetische Energie ist umgekehrt proportional zu der Zeit, die seit Beginn des Bremsens vergangen ist. d) Keine der obigen Aussagen trifft zu.

1.1.10 5.10 •• 

Ein Auto wird auf ebener Straße aus dem Stand beschleunigt, ohne dass die Räder durchdrehen. Erläutern Sie anhand des Zusammenhangs zwischen Gesamtarbeit und kinetischer Energie der Translation sowie von Kräftediagrammen genau, welche Kraft bzw. welche Kräfte direkt für den Zuwachs an kinetischer Energie der Translation des Autos und des Fahrers verantwortlich sind. (Hinweis: Der Zusammenhang betrifft nur äußere Kräfte, sodass „der Motor“ nicht die richtige Antwort ist. Wählen Sie in jedem Fall das richtige „System“).

1.1.11 5.11 •• 

Wenn ein Stein, der mit einem masselosen, starren Stab verbunden ist, mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einem vertikalen Kreis gedreht wird (Abbildung 5.47), ist die mechanische Gesamtenergie des Systems aus Stein und Erde nicht konstant. Während die kinetische Energie des Steins konstant ist, ändert sich die potenzielle Energie der Gravitation ständig. Ist die an dem Stein verrichtete Gesamtarbeit während aller Zeitintervalle null? Hat die Kraft, die der Stab auf den Stein ausübt, jemals eine von null verschiedene Tangentialkomponente?

Abb. 5.47

Zu Aufgabe 5.11.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 5.12 • 

In der Nacht sind 25 cm Schnee gefallen, den Sie auf der 15 m langen Zufahrt zur Garage wegschippen müssen (Abbildung 5.48). Schätzen Sie, welche Arbeit Sie dabei an dem Schnee verrichten müssen. Machen Sie für alle dafür notwendigen Größen (etwa für die Breite der Zufahrt) sinnvolle Annahmen und begründen Sie diese jeweils.

Abb. 5.48

Zu Aufgabe 5.12.

1.2.2 5.13 • 

Eine Seiltänzerin mit einer Masse von 50 kg läuft über ein Seil, das zwischen zwei 10 m voneinander entfernten Pfeilern gespannt ist. Wenn die Seiltänzerin genau in der Mitte des Seils steht, beträgt die Zugkraft darin 5 000 N. a) Schätzen Sie, wie stark das Seil durchhängt, wenn die Seiltänzerin genau in der Mitte des Seils steht. b) Schätzen Sie die Änderung ihrer potenziellen Energie der Gravitation zwischen dem Moment, in dem sie das Seil betritt, und dem Moment, in dem sie genau in der Mitte des Seils steht.

1.2.3 5.14 •• 

Die Masse eines Spaceshuttles beträgt ca. $8\cdot 10^{4}$ kg und seine Umlaufzeit 90 min. Schätzen Sie die kinetische Energie des Spaceshuttles und die Arbeit, die die Gravitationskraft an ihm zwischen Start und Erreichen des Orbits verrichtet. (Die Gravitationskraft nimmt zwar mit der Höhe ab, bei einer niedrigen Umlaufbahn können Sie davon aber absehen. Machen Sie auf dieser Grundlage eine sinnvolle Näherungsannahme. Eine Integration brauchen Sie dabei nicht auszuführen.) Die Umlaufbahnen verlaufen in einer Höhe von ca. 400 km über der Erdoberfläche.

1.2.4 5.15 •• 

Der Stoffwechselumsatz ist als die Rate definiert, mit der ein Lebewesen chemische Energie umsetzt, um damit seine Lebensfunktionen aufrechtzuerhalten. Experimentell wurde ermittelt, dass der durchschnittliche Stoffwechselumsatz beim Menschen proportional zur gesamten Hautoberfläche des Körpers ist. Bei einem 1,78 m großen und 80 kg schweren Mann beträgt die Körperoberfläche etwa 2,0 m${}^{2}$, während sie bei einer 1,63 m großen und 50 kg schweren Frau etwa 1,5 m${}^{2}$ beträgt. Je 1,5 kg Gewichtsabweichung oder 2,54 cm Größenabweichung von den angegebenen Werten ändert sich die Körperoberfläche um rund 1 %. a) Schätzen Sie den durchschnittlichen Stoffwechselumsatz eines Mannes während eines Tages anhand der folgenden Werte für die verschiedenen Tätigkeiten (pro Quadratmeter Hautfläche): Schlafen: 40 W/m${}^{2}$, Sitzen: 60 W/m${}^{2}$, Gehen: 160 W/m${}^{2}$, mittelschwere körperliche Tätigkeit: 175 W/m${}^{2}$, mittelschwere Aerobicübung: 300 W/m${}^{2}$. Vergleichen Sie dies mit der Leistung einer 100-W-Glühbirne. b) Drücken Sie Ihr Ergebnis in kcal/Tag aus (1 kcal $=$ 4,19 kJ; dies ist die Einheit, die die Ernährungswissenschaftler zur Charakterisierung des Nahrungsbedarfs verwenden). c) Eine Faustregel von Ernährungswissenschaftlern besagt, dass ein „Durchschnittsmensch“ 25–30 kcal pro kg Körpermasse und Tag essen sollte, um sein Gewicht zu halten. Erscheint diese Abschätzung ausgehend von den Berechnungen in Teil b vernünftig?

1.2.5 5.16 •• 

Die bei der Verbrennung von 3,78 l Benzin freigesetzte chemische Energie beträgt $1{,}3\cdot 10^{5}\text{\,kJ}$. Schätzen Sie die von allen Autos in Deutschland in einem Jahr verbrauchte Gesamtenergie. Welchem Bruchteil des gesamten jährlichen Energieverbrauchs in Deutschland (derzeit $1{,}49\cdot 10^{19}$ J) entspricht das?

1.2.6 5.17 •• 

Der maximale Wirkungsgrad von Solarzellen zur Umwandlung von Sonnenenergie in Strom beträgt gegenwärtig ca. 12 %. Es ist bekannt, dass von der Sonnenenergie nur 1,0 kW/m${}^{2}$ die Erdoberfläche erreichen. Welche Fläche müsste man mit Solarzellen auslegen, um den jährlichen Energieverbrauch Deutschlands ($1{,}49\cdot 10^{19}$ J) zu decken? Nehmen Sie dazu an, dass über Deutschland stets wolkenloser Himmel herrscht.

1.3 Arbeit, kinetische Energie und Anwendungen

1.3.1 5.18 • 

Eine Kiste mit der Masse von 6,0 kg wird aus dem Stand durch eine vertikal wirkende Kraft von 80 N um 3,0 m angehoben. a) Welche Arbeit verrichtet die angreifende Kraft an der Kiste? b) Welche Arbeit verrichtet die Gravitationskraft an der Kiste? c) Welche kinetische Energie besitzt die Kiste am Schluss?

1.3.2 5.19 •• 

Ein Paar läuft um die Wette. Zunächst haben beide die gleiche kinetische Energie, wobei die Frau schneller läuft. Wenn der Mann seine Geschwindigkeit um 25 % erhöhen würde, wären beide gleich schnell. Der Mann hat eine Masse von 85 kg. Wie groß ist die Masse seiner Partnerin?

1.3.3 5.20 •• 

Auf ein Teilchen mit einer Masse von 1,5 kg wirkt eine Kraft F _x , die gemäß $F_{x}=C\,x^{3}$ mit $C=0{,}50\,\text{N/m}^{3}$ vom Ort x des Teilchens abhängt. a) Welche Arbeit verrichtet die Kraft, während sich das Teilchen von $x=\text{3{,}0\,m}$ nach $x=\text{1{,}5\,m}$ bewegt? b) Bei $x=\text{3{,}0\,m}$ hat die Kraft die entgegengesetzte Richtung zur Geschwindigkeit des Teilchens und der Geschwindigkeitsbetrag beträgt 12,0 m/s. Wie groß ist der Geschwindigkeitsbetrag bei $x=\text{1{,}5\,m}$? Können Sie allein anhand des Zusammenhangs zwischen Gesamtarbeit und kinetischer Energie seine Bewegungsrichtung bei $x=\text{1{,}5\,m}$ herleiten? Erläutern Sie Ihre Aussage.

1.3.4 5.21 •• 

Ein Mann besitzt ein Wochenendhaus mit einem nahe gelegenen schwarzen Wasserbehälter, den die Sonne erwärmt und mit dessen Wasser eine Warmwasseraußendusche betrieben werden kann. Leider ist nun die Pumpe ausgefallen, sodass der Mann das Wasser selbst vom Teich in den 4,0 m hohen Behälter bringen muss. Der Eimer hat eine Masse von 5,0 kg und ein Fassungsvermögen von 15,0 kg Wasser. Allerdings hat er ein Loch. Während der Mann den Eimer mit konstanter Geschwindigkeit v senkrecht hochträgt, fließt mit einer konstanten Rate Wasser aus. Wenn der Mann oben angekommen ist, sind nur noch 5,0 kg übrig. a) Formulieren Sie einen Ausdruck für die Summe der Massen von Eimer und Wasser in Abhängigkeit von der Höhe über dem Teich. b) Wie viel Arbeit muss der Mann für je 5,0 kg Wasser in den Behälter geschüttetes Wasser an dem Eimer verrichten?

1.3.5 5.22 •• 

Ein Teilchen A mit der Masse m befindet sich zu Beginn bei $x=x_{0}$ auf der positiven x-Achse. Auf das Teilchen wirkt eine Abstoßungskraft F _x vom Teilchen B, das sich fest am Koordinatenursprung befindet. Die Kraft F _x ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands x beider Teilchen, d. h., es gilt $F_{x}=c/x^{2}$ mit einer positiven Konstanten c. Nun wird das Teilchen A aus der Ruhe losgelassen und kann sich unter dem Einfluss der Kraft ungehindert bewegen. Ermitteln Sie eine Formel für die Arbeit, die die Kraft in Abhängigkeit von x am Teilchen A verrichtet. Ermitteln Sie für x gegen unendlich die kinetische Energie und die Geschwindigkeit des Teilchens A.

1.3.6 5.23 •• 

Abbildung 5.49 zeigt zwei Seilrollen, die so angeordnet sind, dass sie das Heben eines schweren Gewichts erleichtern. Ein Seil läuft um zwei masselose, reibungsfreie Seilrollen, wobei an einer von ihnen ein Gewicht hängt, auf das die Gravitationskraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}$ wirkt. Ein Arbeiter zieht nun mit der Kraft F an dem losen Ende des Seils. a) Das Gewicht wird eine Strecke h angehoben. Über welche Strecke muss die Kraft wirken? b)  Wie viel Arbeit verrichtet das Seil am Gewicht? c) Wie viel Arbeit verrichtet der Arbeiter an dem Seil?

Abb. 5.49

Zu Aufgabe 5.23.

1.4 Leistung

1.4.1 5.24 • 

Die Kraft F _A verrichtet in 10 s eine Arbeit von 5,0 J. Die Kraft F _B verrichtet in 5,0 s eine Arbeit von 3,0 J. Liefert F _A oder F _B die größere Leistung? Begründen Sie Ihre Antwort.

1.4.2 5.25 • 

Auf einen 8,0-kg-Körper wirkt eine einzelne Kraft von 5,0 N in +x-Richtung. a) Der Körper beginnt sich zum Zeitpunkt t = 0 vom Ort x = 0 aus aus der Ruhe heraus zu bewegen. Formulieren Sie einen Ausdruck für die von dieser Kraft gelieferte Leistung als Funktion der Zeit. b) Wie groß ist die von dieser Kraft gelieferte Leistung zum Zeitpunkt $t=\text{3{,}0\,s}$?

1.4.3 5.26 •• 

Ein Teilchen der Masse m bewegt sich aus der Ruhe (bei t = 0) unter dem Einfluss einer einzigen, konstanten Kraft F. Zeigen Sie, dass die Leistung der Kraft zum Zeitpunkt t gleich $P=F^{2}\,t/m$ ist.

1.5 Die Erhaltung der mechanischen Energie

1.5.1 5.27 • 

Ein mathematisches Pendel der Länge l mit einem Pendelkörper der Masse m wird so weit zur Seite gezogen, dass der Pendelkörper eine Höhe $l/4$ über der Gleichgewichtslage hat. Daraufhin wird der Pendelkörper losgelassen. Mit welcher Geschwindigkeit schwingt der Pendelkörper durch die Gleichgewichtslage?

1.5.2 5.28 • 

Der in Abbildung 5.50 gezeigte Körper mit einer Masse von 3,00 kg wird in einer Höhe von 5,00 m losgelassen und gleitet eine gewölbte, reibungsfreie Rampe hinab. Am Fuß der Rampe befindet sich eine Feder mit einer Federkonstanten von 400 N/m. Nachdem der Körper hinab- und herübergeglitten ist, drückt er die Feder um eine Strecke x zusammen, bevor er vorübergehend zur Ruhe kommt. a) Wie groß ist x? b) Beschreiben Sie die Bewegung des Körpers, nachdem er kurzzeitig zur Ruhe gekommen ist.

Abb. 5.50

Zu Aufgabe 5.28.

1.5.3 5.29 •• 

Gegeben ist eine Kraft F _x , zu der die potenzielle Energie $E_{\mathrm{pot}}=C/x$ gehört, wobei C eine positive Konstante ist. a) Ermitteln Sie die Kraft F _x als Funktion des Orts x. b) Zeigt die Kraft im Gebiet x > 0 zum Koordinatenursprung hin oder von ihm weg? Wiederholen Sie die Aufgabe für x < 0. c) Steigt oder fällt die potenzielle Energie $E_{\mathrm{pot}}$ bei wachsendem x in dem Gebiet mit x > 0? d) Beantworten Sie die Fragen b und c für den Fall, dass C negativ ist.

1.5.4 5.30 •• 

Die Kraft, die auf einen Körper wirkt, ist durch $F_{x}=a/x^{2}$ gegeben. Es ist bekannt, dass die Kraft bei $x=\text{5{,}0\,m}$ in die −x-Richtung weist und einen Betrag von 25 N hat. Bestimmen Sie die potenzielle Energie dieser Kraft als Funktion von x. Legen Sie $-\text{10\,J}$ als Bezugspunkt der potenziellen Energie bei $x=\text{2{,}0\,m}$ fest.

1.5.5 5.31 •• 

Das in Abbildung 5.51 gezeigte System ist anfangs in Ruhe. Nun wird der untere Faden zerschnitten. Wie schnell sind beide Gewichte, wenn sie kurzzeitig die gleiche Höhe haben? Die Rolle sei reibungsfrei und ihre Masse vernachlässigbar.

Abb. 5.51

Zu Aufgabe 5.31.

1.5.6 5.32 •• 

Ein Ball am Ende eines Fadens bewegt sich mit der konstanten mechanischen Energie E auf einer vertikalen Kreisbahn. Wie groß ist der Unterschied zwischen der Zugkraft des Fadens im tiefsten und im höchsten Punkt der Kreisbahn?

1.5.7 5.33 •• 

Ein Achterbahnwagen mit einer Masse von 1500 kg beginnt seine Fahrt in einer Höhe $h=\text{23{,}0\,m}$ über dem Boden (Abbildung 5.52 ) vor einem Looping mit einem Durchmesser von 15,0 m. Die Reibung sei vernachlässigbar. Wie groß ist die nach unten gerichtete Kraft der Schienen auf den Wagen im höchsten Punkt des Loopings?

Abb. 5.52

Zu Aufgabe 5.33.

1.5.8 5.34 •• 

Ein Stein wird in einem Winkel von 53${}^{\circ}$ zur Horizontalen nach oben geworfen. Er erreicht eine maximale Höhe von 24 m über dem Abwurfpunkt. Mit welcher Geschwindigkeit wurde er abgeworfen?

1.5.9 5.35 •• 

Ein Handball mit einer Masse von 0,17 kg wird vom Dach eines 12 m hohen Gebäudes geworfen. Sein Abwurf erfolgt mit 30 m/s in einem Winkel von 40${}^{\circ}$ über der Horizontalen. a) Welche Höhe erreicht der Ball? b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Ball auf den Boden auf?

1.5.10 5.36 •• 

Ein Pendel besteht aus einem Pendelkörper mit einer Masse von 2,0 kg, der an einer leichten, 3,0 m langen Schnur befestigt ist. Der ruhig an der senkrechten Schnur hängende Pendelkörper wird schnell horizontal so angestoßen, dass er eine horizontale Geschwindigkeit von 4,5 m/s erhält. Betrachten Sie den Moment, in dem die Schnur einen Winkel von 30${}^{\circ}$ zur Vertikalen bildet. Wie groß sind dort a) der Geschwindigkeitsbetrag, b) die potenzielle Energie der Gravitation des Körpers (in Bezug auf den tiefsten Punkt) und c) die Zugkraft in der Schnur? d) Welchen Winkel zur Vertikalen erreicht der Pendelkörper in seinem höchsten Punkt?

1.5.11 5.37 ••• 

Abbildung 5.53 zeigt eine neu entwickelte Designerwanduhr. Allerdings sind sich die Designer nicht sicher, ob sie schon marktreif ist – eventuell könnte sie in einem labilen Gleichgewicht sein. Dies soll anhand der potenziellen Energie und der Gleichgewichtsbedingungen untersucht werden. Die Uhr mit der Masse $m_{\mathrm{U}}$ wird von zwei dünnen Drähten gehalten, die jeweils über eine reibungsfreie Rolle mit vernachlässigbarem Durchmesser laufen und jeweils mit einem Gegengewicht der Masse $m_{\mathrm{G}}$ verbunden sind. a) Ermitteln Sie die potenzielle Energie des Systems in Abhängigkeit von der Strecke y. b) Für welchen y-Wert ist die potenzielle Energie des Systems am kleinsten? c) Wenn die potenzielle Energie am kleinsten ist, ist das System im Gleichgewicht, d. h. die Summe aller Kräfte null. Beweisen Sie anhand des zweiten Newton’schen Axioms, dass dies für den in Teilaufgabe b erhaltenen y-Wert tatsächlich der Fall ist. d) Schließlich die entscheidende Frage: Handelt es sich dabei um ein stabiles oder um ein labiles Gleichgewicht?

Abb. 5.53

Zu Aufgabe 5.37.

1.5.12 5.38 ••• 

An der Decke hängt ein Pendelkörper, der über eine Feder direkt unter der Pendelaufhängung mit dem Boden verbunden ist (Abbildung 5.54). Die Masse des Pendelkörpers sei m, die Länge des Fadens l und die Federkonstante $k_{\mathrm{F}}$. Die Feder ist entspannt $l/2$ lang, und der Abstand zwischen Decke und Boden beträgt $1{,}5\,l$. Das Pendel wird zur Seite gezogen, sodass es einen Winkel θ zur Vertikalen bildet, und losgelassen. Geben Sie eine Formel für den Geschwindigkeitsbetrag des Pendelkörpers in dem Punkt direkt unter der Aufhängung an.

Abb. 5.54

Zu Aufgabe 5.38.

1.6 Energieerhaltung

1.6.1 5.39 • 

Ein Student, der am Abend eine Portion Pizza verzehrt hat, möchte am nächsten Morgen als Ausgleich einen 120 m hohen Hügel besteigen. a) Berechnen Sie unter der Annahme eines sinnvollen Werts für die Masse, um wie viel dabei seine potenzielle Energie der Gravitation steigt. b) Woher kommt diese Energie? c) Der menschliche Körper besitzt durchschnittlich einen Wirkungsgrad von 20 %. Wie viel Energie wurde dabei in Wärmeenergie umgewandelt? d) Wie viel chemische Energie muss der Student beim Aufstieg aufwenden? Reicht es aus, einmal auf den Hügel zu steigen, wenn davon ausgegangen wird, dass die Verdauung der Portion Pizza 1,0 MJ (knapp 250 kcal) Energie freisetzt?

1.6.2 5.40 • 

Ein Auto mit einer Masse von 2000 kg fährt anfangs mit 25 m/s auf einer horizontalen Straße. Plötzlich bremst der Fahrer heftig, wobei das Auto ins Rutschen kommt und schließlich 60 m weiter stehen bleibt. a) Wie viel Energie wird durch die Reibung umgewandelt? b) Berechnen Sie den Gleitreibungskoeffizienten zwischen den Reifen und der Straße. (Hinweis: Beim Bremsen mit herkömmlichen Bremsen wird die kinetische Energie durch Reibung in den Bremsen zu 100 % freigesetzt, wenn das Auto nicht rutscht. Dagegen werden bei der Rückgewinnungsbremsung in Hybridfahrzeugen nur 70 % der kinetischen Energie freigesetzt.)

1.6.3 5.41 •• 

Ein Mädchen mit einer Masse von 20 kg rutscht eine 3,2 m hohe Rutsche auf einem Spielplatz hinunter. Unten angekommen, ist es 1,3 m/s schnell. a) Wie viel Energie ist durch die Reibung umgewandelt worden? b) Wie groß war der Gleitreibungskoeffizient zwischen dem Mädchen und der Rutsche, wenn die Rutsche eine Neigung von 20${}^{\circ}$ gegen die Horizontale hat?

1.6.4 5.42 ••• 

Ein Block mit der Masse m ruht auf einer Rampe, die einen Winkel θ zur Horizontalen bildet. Der Block ist gemäß Abbildung 5.55 mit einer Feder mit der Federkonstanten $k_{\mathrm{F}}$ verbunden. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Block und Rampe sei $\mu_{\mathrm{R,h}}$ und der Gleitreibungskoeffizient $\mu_{\mathrm{R,g}}$. Wenn die Feder sehr langsam nach oben gezogen wird, beginnt sich der Block zu einem bestimmten Zeitpunkt plötzlich zu bewegen. a) Geben Sie einen Ausdruck für die Dehnung d der Feder in dem Moment an, in dem sich der Block in Bewegung setzt. b) Angenommen, der Block kommt genau an dem Punkt wieder zum Stillstand, an dem die Feder entspannt (also weder gedehnt noch gestaucht) ist. Geben Sie hierfür einen Ausdruck für $\mu_{\mathrm{R,g}}$ an.

Abb. 5.55

Zu Aufgabe 5.42.

1.7 Allgemeine Aufgaben

1.7.1 5.43 • 

In Österreich gab es einmal einen Skilift mit 5,6 km Länge. Die Gondeln benötigten 60 min für die Fahrt nach oben. Man nehme an, dass zwölf Gondeln jeweils mit einer Nutzlast von 550 kg den Berg hochfahren, während zwölf leere Gondeln hinabfahren. Der Lift habe außerdem eine Steigung von 30${}^{\circ}$. Schätzen Sie ab, welche Leistung P der Motor haben musste, um den Skilift anzutreiben.

1.7.2 5.44 • 

Ein Block mit der Masse m gleitet mit konstanter Geschwindigkeit v eine Ebene hinab, die um den Winkel θ gegen die Horizontale geneigt ist. Leiten Sie einen Ausdruck für die Energie ab, die während des Zeitintervalls $\Updelta t$ durch Reibung abgegeben wird.

1.7.3 5.45 • 

Eine Farm soll mit einer Solarenergieanlage ausgestattet werden. Am Standort der Farm erreichen an einem wolkenlosen Tag tagsüber im Mittel 1,0 kW/m${}^{2}$ die Erdoberfläche. Wie groß müsste die Sonnenkollektorfläche ausgelegt werden, um tagsüber eine Bewässerungspumpe mit einer Leistung von 3 kW zu betreiben, wenn die Sonnenenergie mit einem Wirkungsgrad von 25 % in Elektroenergie umgewandelt werden kann?

1.7.4 5.46 •• 

Ein Geschoss mit einer Masse von 0,0200 kg erhält beim Abschuss eine kinetische Energie von 1200 J. a) Das Geschoss wird in einem 1,00 m langen Gewehrlauf beschleunigt. Wie groß ist die durchschnittliche Leistung, die im Lauf an das Geschoss abgegeben wird? b) Wie groß ist unter Vernachlässigung des Luftwiderstands die Reichweite des Geschosses, wenn es unter einem Winkel abgeschossen wird, bei dem die Reichweite genau gleich der maximalen Höhe der Flugbahn ist?

1.7.5 5.47 •• 

Eine Kiste mit der Masse m ruht am Fuß einer reibungsfreien geneigten Ebene (Abbildung 5.56). An der Kiste ist ein Seil angebracht, das sie mit der konstanten Zugkraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}$ zieht. a) Ermitteln Sie die Arbeit, die die Zugkraft $\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}$ verrichtet, während die Kiste eine Strecke x die geneigte Ebene hinaufgezogen wird. b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Kiste als Funktion von x. c) Welche Leistung führt die Zugkraft im Seil in Abhängigkeit von x und θ zu?

Abb. 5.56

Zu Aufgabe 5.47.

1.7.6 5.48 •• 

In einem neuen Skigebiet wird ein Schlepplift geplant. Er soll jederzeit bis zu 80 Skiläufer einen 600 m langen und 15${}^{\circ}$ zur Horizontalen geneigten Hang hinaufziehen können. Seine Geschwindigkeit beträgt 2,50 m/s. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Skiläufern und Schnee beträgt üblicherweise 0,060. Für welche Leistung muss der Motor des Skilifts mindestens ausgelegt werden, wenn die Masse eines Skiläufers mit durchschnittlich 75,0 kg angenommen wird? Sicherheitshalber soll dabei ein Motor verwendet werden, dessen Nennleistung 50 % über der notwendigen Mindestleistung liegt.

1.7.7 5.49 •• 

Bei einem Vulkanausbruch wird ein poröses Vulkangesteinsstück, das eine Masse von 2 kg besitzt, mit einer Geschwindigkeit von 40 m/s senkrecht in die Luft geschleudert. Es erreicht eine Höhe von 50 m und fällt anschließend wieder zu Boden. a) Wie groß ist die kinetische Energie des Steins am Anfang? b) Wie stark steigt die Wärmeenergie des Steins durch die Reibung während des Aufstiegs? c) Beim Fallen beträgt der Anstieg der Wärmeenergie durch den Luftwiderstand nur 70 % der Änderung beim Steigen des Gesteinsstücks. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt das Gesteinsstück wieder auf den Boden auf?

1.7.8 5.50 •• 

a) Berechnen Sie die kinetische Energie eines Autos mit einer Masse von 1200 kg, das mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fährt. Welche Energie ist mindestens notwendig, um das Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 50 km/h über eine Strecke von 300 m zu fahren, wenn die Reibung (in Form von Rollreibung und Luftwiderstand) zu einer Bremskraft von 300 N führt?

1.7.9 5.51 •• 

Abbildung 5.57 zeigt ein gern vorgeführtes Hörsaalexperiment, mit dem die Energieerhaltung und die Newton’schen Axiome demonstriert werden können. Auf einem geraden Luftkissen gleitet ein Gleitkörper, an dem eine Schnur befestigt ist. Die Schnur läuft über eine masselose und reibungsfreie Rolle, und an ihrem Ende hängt ein Gewicht. Der Gleitkörper hat die Masse $m_{\mathrm{Gl}}$, während das Gewicht an der Schnur die Masse $m_{\mathrm{Ge}}$ hat. Wenn die Luftzufuhr zu dem Luftkissen eingeschaltet wird, kann sich der Gleitkörper im Wesentlichen reibungsfrei bewegen. Nun wird das hängende Gewicht losgelassen und die Geschwindigkeit gemessen, die der Gleitkörper besitzt, nachdem das Gewicht über eine bestimmte Strecke y gefallen ist. a) Wenden Sie die Erhaltung der mechanischen Energie an und ermitteln Sie die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von y, um nachzuweisen, dass die gemessene Geschwindigkeit mit der Theorie übereinstimmt. b) Wenden Sie das zweite und das dritte Newton’sche Axiom direkt an, um die Rechnung zu überprüfen. Zeichnen Sie dazu für jede der beiden Massen ein Kräftediagramm und ermitteln Sie über die Newton’schen Axiome ihre Beschleunigungen. Ermitteln Sie anschließend anhand kinematischer Beziehungen die Geschwindigkeit des Gleitkörpers als Funktion von y.

Abb. 5.57

Zu Aufgabe 5.51.

1.7.10 5.52 •• 

In einem Modell für das Jogging wird angenommen, dass die verausgabte Energie dazu verwendet wird, die Füße und die Unterschenkel zu beschleunigen und abzubremsen. Wenn die Geschwindigkeit, mit der der Läufer joggt, v ist, ist die Maximalgeschwindigkeit der Füße und der Unterschenkel ungefähr $2v$. (Von dem Zeitpunkt an, zu dem sich ein Fuß vom Boden löst, bis zu dem Moment, zu dem er ihn wieder berührt, legt der Fuß etwa die doppelte Strecke wie der Rumpf zurück, sodass er im Mittel die doppelte Geschwindigkeit wie dieser haben muss.) Die Masse eines Fußes und Unterschenkels sei m. Die Energie, die benötigt wird, um Fuß und Unterschenkel eines Beins aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit $2\,v$ zu beschleunigen, ist $\frac{1}{2}\,m\,(2\,v)^{2}=2\,m\,v^{2}$; die gleiche Energie wird benötigt, um die Masse wieder abzubremsen, sodass sie für den nächsten Schritt zur Ruhe kommt. Nehmen Sie die Masse des Fußes und Unterschenkels des Beins eines Läufers mit 5,0 kg an. Er läuft mit einer Geschwindigkeit von 3,0 m/s, und seine Schrittweite beträgt 1,0 m. Die Energie, die er jedem Bein jeweils auf 2,0 m zuführen muss, beträgt $2\,m\,v^{2}$, sodass er beiden Beinen in jeder Sekunde, die er läuft, die Energie $6\,m\,v^{2}$ zuführen muss. Ermitteln Sie unter Zugrundelegung dieses Modells die Rate, mit der der Jogger Energie verbraucht, wenn seine Muskeln einen Wirkungsgrad von 20 % besitzen.

1.7.11 5.53 ••• 

Eine Kraft, die auf ein Teilchen mit den Koordinaten $(x,y)$ in der x-y-Ebene wirkt, ist durch die Gleichung $\boldsymbol{F}=(F_{0}/r)\,(y\,\boldsymbol{\widehat{x}}-x\,\boldsymbol{\widehat{y}})$ gegeben, wobei F ₀ eine positive Konstante und r der Abstand des Teilchens vom Koordinatenursprung ist. a) Zeigen Sie, dass der Betrag dieser Kraft F ₀ ist und dass die Kraft senkrecht auf dem Ortsvektor $\boldsymbol{r}=x\,\boldsymbol{\widehat{x}}+y\,\boldsymbol{\widehat{y}}$ steht. b) Welche Arbeit verrichtet die Kraft an einem Teilchen, das sich auf einem Kreis mit einem Radius von 5,0 m einmal um den Koordinatenursprung dreht?

1.7.12 5.54 ••• 

Ein Pendel besteht aus einem kleinen Pendelkörper mit der Masse m, der an einem Faden der Länge l befestigt ist. Der Pendelkörper wird seitlich ausgelenkt, wobei der Faden horizontal ist (Abbildung 5.58). Anschließend wird er aus dieser Ruhelage losgelassen. Am tiefsten Punkt seiner Bahn schlägt der Faden gegen einen kleinen Nagel, der sich in einem Abstand $r_{\mathrm{N}}$ über diesem tiefsten Punkt befindet. Zeigen Sie, dass $r_{\mathrm{N}}$ kleiner als $\frac{2}{5}\,l$ sein muss, damit der Faden straff bleibt und sich der Pendelkörper im Kreis um den Nagel dreht.

Abb. 5.58

Zu Aufgabe 5.54.

1.7.13 5.55 ••• 

Der Pendelkörper eines Pendels der Länge l wird um einen Winkel $\theta_{0}$ gegen die Senkrechte ausgelenkt und anschließend losgelassen. In Beispiel 5.15 wurde die Energieerhaltung ausgenutzt, um die Geschwindigkeit des Pendelkörpers am tiefsten Punkt seiner Bahn zu berechnen. Versuchen Sie nun, das gleiche Ergebnis mithilfe des zweiten Newton’schen Axioms zu berechnen: a) Zeigen Sie, dass die Anwendung des Newton’schen Axioms in tangentiale Richtung $\,\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}/\,\mathrm{d}t=-g\,\mathrm{sin\> }\theta$ ergibt, wobei $v_{\mathrm{t}}$ die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit und θ der Winkel zwischen dem Faden und der Vertikalen ist. b) Zeigen Sie nun, dass $v_{\mathrm{t}}=l\,\,\mathrm{d}\theta/\,\mathrm{d}t$ gilt. c) Verwenden Sie diese Relation sowie die Kettenregel der Ableitung, um die Formel

$$\frac{\,\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}}{\,\mathrm{d}t}=\frac{\,\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}}{\,\mathrm{d}\theta}\,\frac{v_{\mathrm{t}}}{l}$$

herzuleiten. d) Verknüpfen Sie die Ergebnisse aus den Teilaufgaben a und c zu der Formel $v_{\mathrm{t}}\,\,\mathrm{d}v_{\mathrm{t}}=-g\,l\;\mathrm{sin\> }\theta\;\,\mathrm{d}\theta$. e) Integrieren Sie die linke Seite dieser Formel von $v_{\mathrm{t}}=0$ bis zur Endgeschwindigkeit $v_{\mathrm{t}}$ und die rechte Seite von $\theta=\theta_{0}$ bis $\theta=0$. Zeigen Sie, dass das Ergebnis $v_{\mathrm{t}}=\sqrt{\,2\,g\,h}$ lautet, wobei h die Anfangshöhe des Pendelkörpers über der Gleichgewichtslage seiner Schwingung ist.