Mechanik von Massepunkten

Zusammenfassung

Die Grundmerkmale jeder Bewegung, die Verschiebung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung, spielen in der Physik eine ganz wichtige Rolle. Tatsächlich war das Bestreben, die Bewegung von Körpern zu beschreiben, vor mehr als 400 Jahren die Geburtsstunde der Physik.

Die Bewegung und die damit zusammenhängenden Konzepte der Kraft und der Masse bilden den Gegenstand der Mechanik. Im Rahmen der Mechanik werden wir uns zunächst der Kinematik zuwenden, die sich mit der Charakterisierung der Bewegung beschäftigt. Die Kinematik ist eine wesentliche Grundlage für das Verständnis des vorliegenden Buchs. Die Bewegung zieht sich durch die gesamte Physik. Die Kinematik bildet die Grundlage, um zu verstehen, in welcher Weise die Bewegung durch Kräfte und Massen beeinflusst wird. Ab Kapitel 3 werden wir uns dann der Dynamik zuwenden, die sich mit Bewegung, Kraft und Masse beschäftigt.

Wenn ein Auto von seinem Ausgangspunkt zu seinem Zielort fährt, beschleunigt es beim Anfahren, bewegt sich eine Zeit lang mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Vorfahrtsstraße, biegt rechts oder links ab, bremst an einer roten Ampel und fährt gegebenenfalls rückwärts. (© Liona Toussaint/Pitopia.)

? Wie kann der Fahrer seine Ankunftszeit abschätzen? (Siehe Beispiel 2.3.)

Appendices

Im Kontext: GPS: Vektorrechnung in Bewegung

Viele moderne Autos verfügen heute über ein eingebautes oder nachgerüstetes GPS-Navigationssystem. Den meisten Nutzern dieser Geräte ist sicher nicht bewusst, dass diese Computer ständig Vektoren für sie berechnen.

Um die Erde kreisen 24 GPS-Satelliten in einer Höhe von ca. 18 000 km.${}^{1}$ Meistens sind mindestens drei, oft sogar vier Satelliten sichtbar (d. h. über dem Horizont). Jeder Satellit sendet ununterbrochen eine Zeichenfolge mit seiner Kennung, Informationen über seine Umlaufbahn und einer auf $10^{-9}$ s genauen Zeitmarke.${}^{2}$ Eine Bodenstation prüft die Uhren in den Satelliten und ihre Umlaufbahnen und kann gegebenenfalls Korrekturinformationen an sie senden.

Ein GPS-Empfänger versucht, Signale von diesen Satelliten zu empfangen. Gelingt es ihm, sich auf drei oder mehr Satellitensignale aufzuschalten, berechnet er jeweils anhand der Differenz zwischen der Zeitmarke des Satelliten und der Uhrzeit des Empfängers zum Zeitpunkt der Erfassung der Marke, wie weit jeder Satellit weg ist. Aus der bekannten Umlaufbahn jedes Satelliten und der Entfernung bis zu jedem Satelliten kann der Empfänger seinen Ort triangulieren. Eine Berechnung anhand von drei Satelliten ergibt die geografische Länge und Breite des Empfängers. Vier Satelliten gestatten, gleichzeitig die Höhe zu berechnen.

Das Fahrzeugnavigationssystem erhält Informationen von GPS-Satelliten und berechnet daraus Ort und Geschwindigkeit des Autos. Unter bestimmten Voraussetzungen ermittelt es mittels Koppelnavigation den Verschiebungsvektor. (© Andrew Fox/Corbis.)

Doch wo kommen hier Vektoren ins Spiel? Der Empfänger trianguliert seinen Ort nicht nur ein Mal – dies würde nur einen einzigen Punkt liefern. Vielmehr „lauscht“ der Empfänger ständig auf Signale von den Satelliten und berechnet aus Änderungen der Triangulationsergebnisse Ortsänderungen des Empfängers. Auf diese Weise bestimmt er jede Entfernungs- und Richtungsänderung gegenüber dem letzten bekannten Ort. Schon nach kurzer Zeit hat er genug Werte zur Verfügung, um die Geschwindigkeit zu berechnen. Im Ergebnis liefert der Empfänger als Bestandteil der Berechnungen stets einen Geschwindigkeitsbetrag und eine Richtung und somit einen Geschwindigkeitsvektor.

Dieser Vektor dient nicht nur dazu, eine Linie für den Fahrtverlauf auf den Bildschirm zu zeichnen. Es gibt Zeiten, zu denen der Empfänger keinen guten Wert empfangen kann. Dies kann z. B. unter einer Brücke oder in einem Tunnel der Fall sein. Wenn sich der GPS-Empfänger auf kein sinnvolles Signal aufschalten kann, geht er vom letzten bekannten Ort aus. Er verwendet dann die letzte bekannte Geschwindigkeit, d. h. deren Betrag und deren Richtung, um eine Koppelnavigation zu berechnen. Bis der Empfänger von ausreichend vielen Satelliten ein zuverlässiges Signal empfangen kann, nimmt er an, dass das Auto in der gleichen Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit weiterfährt. Sobald er wieder gute Signale empfangen kann, nimmt er Korrekturen am Ort und am Kurs vor.

In der Frühzeit des GPS wurden die von den Satelliten gesendeten Zeitsignale mit einer künstlichen Verfälschung, der selektiven Verfügbarkeit, codiert, die nur mit Decodierungsempfängern für die Landesverteidigung decodiert werden konnte. Auf diese Weise konnte das Militär Orte auf 6 m genau verfolgen, während dies für zivile Anwendungen nur auf 45 m genau möglich war.${}^{3}$ Im Jahr 2000 wurde diese Codierung abgeschaltet. Theoretisch ist ein GPS-Empfänger mit den richtigen Signalen in der Lage, den Ort auf Fingerbreite anzugeben${}^{4}$ und ebenso genaue Messwerte für Betrag und Richtung der Geschwindigkeit zu ermitteln – und dies alles aus einer Entfernung von 18 000 km!

• 1. Die tatsächliche Anzahl der aktiven Satelliten schwankt. Um für den Fall einer Störung gewappnet zu sein, gibt es mehr als 24 Satelliten. „Block II Satellite Information.“ ftp://tycho.usno.navy.mil/pub/gps/gpsb2.txt. United States Naval Observatory (Stand: März 2009).

• 2. „GPS: The Role of Atomic Clocks – It Started with Basic Research.“ http://www.beyonddiscovery.org/content/view.page.asp?I=464. Beyond Discovery. The National Academy of Sciences (Stand: März 2009).

• 3. „Comparison of Positions With and Without Selective Availability: Full 24 Hour Data Sets.“ http://www.ngs.noaa.gov/FGCS/info/sans_SA/compare/ERLA.htm. National Geodetic Survey (Stand: März 2009).

• 4. „Differential GPS: Advanced Concepts.“ http://www.trimble.com/gps/dgps-advanced.shtml. Trimble (Stand: März 2009).

Aufgaben

Bei allen Aufgaben sei die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s ${}^{2}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 2.1 • 

Nennen Sie ein Beispiel aus dem Alltag für eine eindimensionale Bewegung, bei der a) die Geschwindigkeit von Osten nach Westen und die Beschleunigung von Westen nach Osten gerichtet ist bzw. b) sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung von Süden nach Norden gerichtet ist.

1.1.2 2.2 • 

Kann der Betrag der Ortsveränderung (Ortsverschiebung) eines Teilchens kleiner als die entlang seiner Bahn zurückgelegte Strecke sein? Kann der Betrag der Ortsveränderung größer als die zurückgelegte Strecke sein? Begründen Sie Ihre Antwort.

1.1.3 2.3 • 

Gegeben sind die Ortsvektoren eines Teilchens an zwei Orten seines Wegs, einem früheren und einem späteren. Außerdem wissen Sie, wie lange es dauert, bis sich das Teilchen von einem Punkt zum anderen bewegt. Lässt sich daraus a) der Vektor der mittleren Geschwindigkeit zwischen den beiden Punkten, b) der Vektor der mittleren Beschleunigung zwischen den beiden Punkten, c) die Momentangeschwindigkeit, d) die Momentanbeschleunigung berechnen?

1.1.4 2.4 • 

Stellen Sie sich die Bewegung eines Teilchens auf einer Bahn vor. a) Wie hängt der Geschwindigkeitsvektor geometrisch mit der Bahn des Teilchens zusammen? b) Skizzieren Sie eine gekrümmte Bahn und zeichnen Sie die Geschwindigkeitsvektoren für einige vom Teilchen durchlaufene Punkte ein.

1.1.5 2.5 • 

Nennen Sie Beispiele für eine Bewegung, bei der der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsvektor a) in die entgegengesetzte Richtung zeigen, b) in die gleiche Richtung zeigen, c) senkrecht aufeinander stehen.

1.1.6 2.6 • 

Ein Strom hat eine Breite von 0,76 km. Seine Ufer sind gerade und parallel (Abbildung 2.48). Die Strömung beträgt 4,0 km/h und verläuft parallel zu den Ufern. In dem Strom schwimmt ein Boot mit einer Höchstgeschwindigkeit von (in ruhigem Wasser) 4,0 km/h. Der Kapitän möchte den Fluss auf direktem Wege von A nach B überqueren, wobei die Strecke AB senkrecht zu den Ufern verläuft. Sollte der Kapitän a) sein Boot direkt zum gegenüberliegenden Ufer steuern, b) sein Boot 53${}^{\circ}$ stromaufwärts der Strecke AB steuern, c) sein Boot 37${}^{\circ}$ stromaufwärts der Strecke AB steuern, d) aufgeben, da die Geschwindigkeit des Boots nicht ausreicht, oder e) etwas anderes tun?

Abb. 2.48

Zu Aufgabe 2.6.

1.1.7 2.7 • 

Beantworten Sie für jedes der vier x-t-Diagramme aus Abbildung 2.49 folgende Fragen: a) Ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ₂ größer, kleiner oder gleich der zum Zeitpunkt t ₁? b) Ist der Geschwindigkeitsbetrag zum Zeitpunkt t ₂ größer, kleiner oder gleich dem zum Zeitpunkt t ₁?

Abb. 2.49

Zu Aufgabe 2.7.

1.1.8 2.8 •• 

Welche der Weg-Zeit-Kurven aus Abbildung 2.50 zeigt am besten die Bewegung eines Körpers a) mit positiver Beschleunigung, b) mit konstanter positiver Geschwindigkeit, c) der ständig ruht und d) mit negativer Beschleunigung? (Es kann jeweils mehr als eine richtige Antwort geben.)

Abb. 2.50

Zu Aufgabe 2.8.

1.1.9 2.9 •• 

Ein Körper bewegt sich auf einer Geraden. Seine Weg-Zeit-Kurve ist in Abbildung 2.51 gezeigt. Zu welcher Zeit bzw. zu welchen Zeiten ist a) sein Geschwindigkeitsbetrag am kleinsten, b) seine Beschleunigung positiv und c) seine Geschwindigkeit negativ?

Abb. 2.51

Zu Aufgabe 2.9.

1.1.10 2.10 •• 

Welches der v-t-Diagramme aus Abbildung 2.52 beschreibt die Bewegung eines Teilchens mit a) positiver Geschwindigkeit und zunehmendem Geschwindigkeitsbetrag, b) positiver Geschwindigkeit und der Beschleunigung null, c) konstanter, von null verschiedener Beschleunigung und d) abnehmendem Geschwindigkeitsbetrag am besten?

Abb. 2.52

Zu Aufgabe 2.10.

1.1.11 2.11 •• 

Welche der Geschwindigkeit-Zeit-Kurven aus Abbildung 2.53 beschreibt am besten die Bewegung eines Körpers a) mit konstanter positiver Beschleunigung, b) mit zeitlich abnehmender positiver Beschleunigung, c) mit zeitlich zunehmender positiver Beschleunigung und d) ohne Beschleunigung? (Es kann jeweils mehr als eine richtige Antwort geben.)

Abb. 2.53

Zu Aufgabe 2.11.

1.1.12 2.12 •• 

Zeichnen Sie während der Zeitspanne $0\leq t\leq\text{30\,s}$ genaue Diagramme für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Wagens, der in der Zeitspanne $0\leq t\leq\text{30\,s}$ nacheinander die folgenden Bewegungen ausführt: Zunächst bewegt er sich während 5,0 s mit 5,0 m/s gleichförmig geradlinig in +x-Richtung, wobei er bei $t=\text{0{,}0\,s}$ am Koordinatenursprung beginnt. Daraufhin wird er 10,0 s lang gleichförmig pro Sekunde um 0,50 m/s schneller. Schließlich verzögert er während der folgenden 15,0 s gleichförmig pro Sekunde um 0,50 m/s.

1.1.13 2.13 •• 

Ein Porsche beschleunigt gleichförmig von 80,5 km/h bei $t=\text{0\,s}$ auf 113 km/h bei $t=\text{9{,}00\,s}$. a) Welches Diagramm aus Abbildung 2.54 beschreibt seine Geschwindigkeit am besten? b) Skizzieren Sie ein Weg-Zeit-Diagramm, das den Ort des Autos in diesen 9 s zeigt; nehmen Sie dabei an, dass der Ort x zum Zeitpunkt t = 0 gleich null ist.

Abb. 2.54

Zu Aufgabe 2.13.

1.1.14 2.14 •• 

Ein senkrecht nach oben geworfener Gegenstand fällt zurück und wird an der Abwurfstelle wieder aufgefangen. Seine Flugzeit beträgt t und seine Maximalhöhe h. Sein mittlerer Geschwindigkeitsbetrag für den gesamten Flug ist dann a) $h/t$, b) 0, c) $h/(2t)$ oder d) $2h/t$?

1.1.15 2.15 •• 

Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. a) Wie groß ist die Geschwindigkeit an seinem höchsten Punkt? b) Wie groß ist in diesem Punkt die Beschleunigung des Balls? c) Wie unterscheiden sich die Geschwindigkeit und die Beschleunigung im höchsten Punkt, wenn der Ball stattdessen hart auf eine horizontale Decke aufprallt und daraufhin zurückfliegt. Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand.

1.1.16 2.16 •• 

Ein Pfeil wird nach oben geworfen und bleibt in der Decke stecken. Nachdem er sich aus der Hand gelöst hat, wird er beim Steigen immer langsamer. a) Zeichnen Sie den Geschwindigkeitsvektor des Pfeils zu zwei Zeitpunkten t ₁ und t ₂, nachdem der Pfeil die Hand verlassen hat, jedoch bevor er in der Decke steckengeblieben ist. Die Differenz $t_{2}-t_{1}$ soll klein sein. Entnehmen Sie aus Ihrer Zeichnung die Richtung der Geschwindigkeitsänderung $\Updelta\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{1}$ und somit die Richtung des Beschleunigungsvektors. b) Nachdem der Pfeil eine Weile in der Decke gesteckt hat, fällt er zu Boden. Dabei wird er beschleunigt, bis er auf dem Boden aufkommt. Wiederholen Sie das Vorgehen aus Teilaufgabe a, um die Richtung des Beschleunigungsvektors beim Fallen zu ermitteln. c) Jetzt wird der Pfeil horizontal geworfen. Welche Richtung hat der Beschleunigungsvektor nun, nachdem sich der Pfeil aus der Hand gelöst hat, jedoch bevor er auf dem Boden aufgekommen ist?

1.1.17 2.17 •• 

Abbildung 2.55 zeigt die Orte von zwei Autos auf parallelen Fahrspuren auf der Autobahn in Abhängigkeit von der Zeit. Die positive x-Achse zeigt nach rechts. Beantworten Sie qualitativ folgende Fragen: a) Sind beide Autos irgendwann gleichauf? Wenn ja, geben Sie den entsprechenden Zeitpunkt bzw. die entsprechenden Zeitpunkte auf der Achse an. b) Fahren sie immer in dieselbe Richtung, oder gibt es Zeiten, zu denen sie entgegengerichtet fahren? Wenn ja, wann? c) Fahren sie irgendwann mit derselben Geschwindigkeit? Wenn ja, wann? d) Wann sind beide Autos am weitesten voneinander entfernt? e) Skizzieren Sie (ohne Zahlenwerte) für jedes Auto das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm.

Abb. 2.55

Zu Aufgabe 2.17.

1.1.18 2.18 •• 

Bestimmen Sie mithilfe eines Bewegungsdiagramms die Beschleunigungsrichtung eines Pendelkörpers, der sich gerade an einem Umkehrpunkt befindet.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

1.2.1 2.19 •• 

Gelegentlich überleben Menschen einen tiefen Sturz, wenn die Fläche, auf die sie fallen, weich genug ist. Während der Besteigung der berüchtigten Eiger-Nordwand löste sich der Felsanker des Bergsteigers Carlos Ragone , sodass er etwa 150 m in die Tiefe fiel. Dank einer Landung im weichen Schnee erlitt er lediglich ein paar Prellungen und renkte sich die Schulter aus. Wir wollen annehmen, dass das durch den Aufschlag verursachte Loch im Schnee 1,20 m tief gewesen ist. Mit welcher – als konstant angenommenen – mittleren Beschleunigung wurde er durch den Schnee abgebremst?

1.3 Orts- und Verschiebungvektor

1.3.1 2. 20 • 

Eine Wanduhr hat einen 0,50 m langen Minutenzeiger und einen 0,25 m langen Stundenzeiger. Drücken Sie den Ortsvektor a der Spitze des Stundenzeigers und den Ortsvektor b der Spitze des Minutenzeigers durch die Einheitsvektoren $\boldsymbol{\widehat{x}}$ und $\boldsymbol{\widehat{y}}$ aus, wenn die Uhr folgende Zeiten anzeigt: a)  12:00 Uhr, b)  3:00 Uhr, c)  6:00 Uhr, d)  9:00 Uhr. Legen Sie dazu den Koordinatenursprung in die Mitte der Uhr und verwenden Sie ein kartesisches Koordinatensystem, dessen positive x-Achse in die 3-Uhr-Richtung und dessen positive y-Achse in die 12-Uhr-Richtung zeigt.

1.3.2 2.21 • 

Ein kurz aus dem Winterschlaf erwachter Bär trottet 12 m direkt nach Nordosten und anschließend 12 m genau nach Osten. Stellen Sie die beiden Ortsverschiebungen grafisch dar und ermitteln Sie grafisch, wie der Bär danach durch eine einzige Verschiebung wieder in die Höhle zurückkommt, um den Winterschlaf fortzusetzen.

1.3.3 2.22 • 

Ein Schiff auf See empfängt Funksignale von zwei Sendern A und B, wobei sich der eine genau 100 km südlich des anderen befindet. Der Peilempfänger zeigt an, dass sich der Sender A um einen Winkel $\theta=$ 30${}^{\circ}$ südlich der Ostrichtung befindet, wogegen der Sender B genau im Osten liegt. Gesucht ist die Entfernung des Schiffs zum Sender B.

1.4 Geschwindigkeit

1.4.1 2.23 • 

a) Ein Elektron in einer Fernsehbildröhre fliegt die 16 cm zwischen Gitter und Bildschirm mit einer mittleren Geschwindigkeit von $4{,}0\cdot 10^{7}$ m/s. Wie lange dauert dies? b) Ein Elektron in einem stromführenden Kabel bewegt sich lediglich mit einer mittleren Geschwindigkeit von $4{,}0\,\cdot 10^{-5}$ m/s. Wie lange braucht es, um 16 cm zurückzulegen?

1.4.2 2.24 • 

Eine der viel beflogenen Transatlantikflugrouten ist ungefähr 5500 km lang. Für diese Routen wurde ein Überschallverkehrsflugzeug, die inzwischen außer Betrieb genommene Concorde , eingesetzt, die mit doppelter Schallgeschwindgkeit fliegen konnte. a) Wie lange dauerte der Flug in einer Richtung ungefähr? Verwenden Sie 343 m/s als Schallgeschwindigkeit. b) Vergleichen Sie die Zeit mit der, die ein normales Unterschallflugzeug, das mit 0,9-facher Schallgeschwindigkeit fliegt, für die Strecke braucht.

1.4.3 2.25 • 

Proxima Centauri , derjenige Stern, der unserer Erde abgesehen von der Sonne am nächsten ist, liegt $4{,}1\cdot 10^{13}$ km von uns entfernt. Ein Bewohner eines Planeten von Proxima Centauri beschließt, mithilfe von Lichtsignalen eine Pizza auf der Erde zu bestellen. Das schnellste Lieferraumschiff des irdischen Pizzahändlers fliegt mit $1{,}00\cdot 10^{-4}c$. a) Wie lange dauert es, bis die Bestellung bei der Erde eingeht? b) Wie lange muss er warten, bis er die Pizza in den Händen hält? Muss er etwas bezahlen, wenn der Händler eine Geld-zurück-Garantie für Lieferzeiten über 1000 Jahre übernimmt?

1.4.4 2.26 •• 

Es wurde festgestellt, dass sich alle Galaxien mit einer Geschwindigkeit von der Erde wegbewegen, die im Mittel proportional zu ihrer Entfernung von der Erde ist. Nach seinem Entdecker, dem Astrophysiker Edwin Hubble , ist dies als das Hubble-Gesetz bekannt. Hubble hatte erkannt, dass die Fluchtgeschwindigkeit v einer Galaxie in der Entfernung r von der Erde $v=\mathrm{H}\,r$ ist, wobei H die Hubble-Konstante $\mathrm{H}=1{,}58\cdot 10^{-18}\text{\,s}^{-1}$ ist. Welche Fluchtgeschwindigkeiten haben demnach Galaxien in einer Entfernung von a)  $5{,}00\cdot 10^{22}\text{\,m}$ bzw. b)  $2{,}00\cdot 10^{25}\,\text{m}$ von der Erde? c) Wann waren diese Galaxien am gleichen Ort wie die Erde? (Nehmen Sie dabei an, dass sie sich gleichförmig geradlinig bewegt haben.)

1.4.5 2.27 •• 

Zwei Autos fahren auf einer geraden Straße. Das Auto A fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h, das Auto B mit einer ebenfalls konstanten Geschwindigkeit von 110 km/h. Zum Zeitpunkt t = 0 ist das Auto B 45 km hinter dem Auto A zurück. a) Wie weit fährt das Auto A, bis es vom Auto B überholt wird? b) Wie weit vor dem Auto A ist das Auto B 30 s, nachdem es das Auto A überholt hat?

1.4.6 2.28 •• 

Ein Kleinflugzeug startet von A und möchte zum Zielflughafen B, welcher 520 km genau nördlich von A liegt. Das Flugzeug besitzt eine Fluggeschwindigkeit von 240 km/h gegenüber der Luft, und es weht ein ständiger Nordwestwind von 50 km/h. Bestimmen Sie den anzusteuernden Kurs und die Flugdauer.

1.4.7 2.29 •• 

Der Pilot eines Kleinflugzeugs fliegt mit einer Fluggeschwindigkeit von 280 km/h gegenüber der Luft und möchte genau nach Norden (000${}^{\circ}$) fliegen. a)  Welche Richtung (Azimut) muss er bei einem direkten Ostwind (090${}^{\circ}$) von 55,5 km/h ansteuern? b) Wie hoch ist bei dieser Richtung seine Bodengeschwindigkeit?

1.5 Beschleunigung

1.5.1 2.30 • 

Ein Sportwagen beschleunigt im dritten Gang innerhalb von 3,70 s von 48,3 km/h auf 80,5 km/h. a) Wie hoch ist die mittlere Beschleunigung in m/s${}^{2}$ in diesem Fall? b) Wie schnell würde das Auto werden, wenn es mit der gleichen Beschleunigung noch 1 s länger beschleunigen würde?

1.5.2 2.31 •• 

Gegeben ist ein Teilchen, dessen Ort gemäß der Gleichung $x(t)=(1{,}0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2})t^{2}-5{,}0\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\,t+1{,}0\,\text{m}$ von der Zeit abhängt. a) Gesucht sind die Verschiebung und die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $\text{3{,}0\,s}\leq t\leq\text{4{,}0\,s}$. b) Ermitteln Sie eine allgemeine Formel für die Verschiebung im Zeitintervall von t bis $t+\Updelta t$. c) Bilden Sie den entsprechenden Grenzwert, um die Momentangeschwindigkeit für einen beliebigen Zeitpunkt t zu ermitteln.

1.6 Gleichförmig beschleunigte Bewegung in einer Dimension

1.6.1 2.32 • 

Ein mit der Anfangsgeschwindigkeit v ₀ nach oben abgeschossener Körper erreicht eine Höhe h über dem Ausgangspunkt. Ein weiterer Körper, der mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $2\,v_{0}$ abgeschossen wird, erreicht dann eine maximale Höhe von a) $4\,h$, b) $3\,h$, c) $2\,h$ oder d) h?

1.6.2 2.33 • 

Ein Stein wird von einem 200 m hohen Felsvorsprung senkrecht hinabgeworfen. Während der letzten halben Sekunde legt der Stein 45 m zurück. Wie groß ist seine Anfangsgeschwindigkeit?

1.6.3 2.34 • 

Ein Auto mit dem Anfangsort $x=\text{50\,m}$, das entlang der x-Achse fährt, beschleunigt mit 8,0 m/s${}^{2}$ gleichförmig aus dem Stand. a) Wie schnell fährt es nach 10 s? b) Wie weit ist es nach 10 s gekommen? c) Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit im Zeitraum $0\leq t\leq\text{10\,s}$?

1.6.4 2.35 •• 

Eine Ladung Steine wird von einem Kran mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von 5,0 m/s angehoben, wobei sich 6,0 m über dem Erdboden einer der Steine löst und zu Boden fällt. a) Zeichnen Sie den Ort $y(t)$ des Steins von dem Moment, in dem er sich löst, bis er auf den Boden auftrifft. b) Welche maximale Höhe über dem Boden erreicht der Stein dabei? c) Nach welcher Zeit trifft er auf den Boden auf? d) Welche Geschwindigkeit hat er, kurz bevor er auf den Boden auftrifft?

1.6.5 2.36 •• 

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Rakete zur Untersuchung der Verschmutzung der Erdatmosphäre konstruiert. Sie wird mit einer Beschleunigung von 20 m/s${}^{2}$ senkrecht gestartet. Nach 25 s schalten sich die Triebwerke ab, wonach die Rakete (durch die Erdbeschleunigung verzögert) noch eine Weile weiter steigt. Schließlich hört ihr Steigflug auf, und sie fällt zur Erde zurück. Sie benötigen eine Luftprobe aus einer Höhe von 20 km über dem Boden. a) Hat die Rakete diese Höhe erreicht? Wenn nicht, was müssten Sie ändern, damit sie bis in diese Höhe kommt? b) Ermitteln Sie die Gesamtflugzeit der Rakete. c) Wie hoch ist die Geschwindigkeit der Rakete, unmittelbar bevor sie auf den Boden auftrifft?

1.6.6 2.37 •• 

Bei einem Schulexperiment bewegt sich ein Luftkissengleiter auf einer schrägen Bahn. Er besitzt eine konstante Beschleunigung und wird bereits mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit am unteren Ende der Schräge gestartet. Nachdem 8,00 s vergangen sind, ist der Gleiter 100 cm von seinem Anfangspunkt entfernt und besitzt eine Geschwindigkeit von −15 cm/s. Gesucht sind die Anfangsgeschwindigkeit sowie die Beschleunigung.

1.6.7 2.38 •• 

Ein Schnellkäfer kann sich mit der Beschleunigung $a=400\text{ g}$ in die Luft katapultieren . Das ist eine Größenordnung mehr als ein Mensch überhaupt aushält. Der Käfer springt, indem er seine d = 0,60 cm langen Beine „ausklappt“. a) Wie hoch kann der Käfer springen? b) Wie lang dauert dieser Sprung? Nehmen Sie während des Absprungs eine konstante Beschleunigung an und vernachlässigen Sie den Luftwiderstand.

1.6.8 2.39 •• 

Ein Physikprofessor springt, ausgestattet mit einer kleinen Rucksackrakete, in einer Höhe von 575 m ohne senkrechte Startgeschwindigkeit aus einem Hubschrauber. Er verbringt 8,0 s im freien Fall. Anschließend zündet er die Rakete und verringert damit seine Geschwindigkeit mit 15 m/s${}^{2}$ bis auf 5,0 m/s. Bei Erreichen dieser Geschwindigkeit stellt er die Raketentriebwerke so ein, dass er nun mit konstanter Geschwindigkeit weiter sinkt. a) Skizzieren Sie in demselben Diagramm seine Beschleunigung-Zeit-Funktion und seine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion. (Die positive Richtung zeige nach oben.) b) Wie hoch ist seine Geschwindigkeit nach den ersten 8,0 s des Flugs? c) Wie lange verliert er an Geschwindigkeit? d) Wie weit fällt er, während er langsamer wird? e) Wie lange dauert sein gesamter Absprung vom Hubschrauber bis zum Boden? f) Wie hoch ist dabei seine mittlere Geschwindigkeit?

1.6.9 2.40 •• 

Zwei Eisenbahnzüge stehen sich im Abstand von 40  m auf benachbarten Gleisen gegenüber. Nun beschleunigt der linke Zug mit 1,0 m/s${}^{2}$ nach rechts, und der rechte Zug beschleunigt gleichzeitig mit 1,3 m/s${}^{2}$ nach links. a) Wie weit fährt der linke Zug, bevor die Stirnseiten der Loks aneinander vorbeifahren? b) Beide Züge sind jeweils 150 m lang und beschleunigen gleichförmig. In welcher Zeit nach dem Anfahren sind sie vollständig aneinander vorbeigefahren?

1.6.10 2.41 •• 

Ein Raser fährt mit konstant 125 km/h an einer mobilen Verkehrskontrolle vorbei. Ein Streifenwagen beschleunigt aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung (8,0 km/h)/s, um die Verfolgung aufzunehmen, und erreicht schließlich seine Höchstgeschwindigkeit von 190 km/h. Diese Geschwindigkeit behält er bei, bis er den Raser eingeholt hat. a) Wie lange braucht der Streifenwagen, um den Raser einzuholen, wenn er genau in dem Moment losfährt, in dem der Raser vorbeifährt? b) Wie weit fährt jedes der beiden Autos? c) Zeichnen Sie $x(t)$ für beide Autos.

1.7 Der schräge Wurf

1.7.1 2.42 •• 

Eine Kanonenkugel wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v ₀ unter einem Winkel von 30${}^{\circ}$ über der Horizontalen aus einer Höhe von 40 m abgeschossen. Sie trifft den Boden mit einer Geschwindigkeit von $1{,}2\cdot v_{0}$. Gesucht ist v ₀.

1.7.2 2.43 •• 

In Abbildung 2.56 sei x = 50 m und h = 10 m. Der Affe lässt sich genau in dem Moment fallen, in dem der Pfeil abgeschossen wird. Welche Abschussgeschwindigkeit muss der Pfeil mindestens haben, damit er den anfangs 11,2 m hoch sitzenden Affen erreicht, bevor dieser auf den Boden auftrifft?

Abb. 2.56

Zu Aufgabe 2.43.

1.7.3 2.44 •• 

Ein Ball werde mit einer Anfangsgeschwindigkeit v ₀ unter einem Winkel $\theta_{0}$ über der Horizontalen geworfen. Es sei $|\boldsymbol{v}|$ sein Geschwindigkeitsbetrag bei der Höhe h über dem Boden. Zeigen Sie, dass $|\boldsymbol{v}|$ für eine gegebene Höhe h unabhängig von $\theta_{0}$ ist.

1.7.4 2.45 •• 

Eine Kanone wird auf einen Abschusswinkel von 45${}^{\circ}$ über der Horizontalen eingestellt. Sie feuert eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 300 m/s ab. a) Welche Höhe erreicht die Kugel? b) Wie lange fliegt sie? c) Welche horizontale Reichweite besitzt die Kanone?

1.7.5 2.46 •• 

Die Reichweite einer horizontal von einer Felskuppe abgeschossenen Kanonenkugel sei genauso groß wie die Höhe der Felskuppe. In welche Richtung zeigt der Geschwindigkeitsvektor, wenn die Kugel auf dem Boden auftrifft?

1.7.6 2.47 •• 

Ermitteln Sie aus $R=(|\boldsymbol{v}_{0}|^{2}/g)\,\mathrm{sin\> }(2\,\theta_{0})$ die Ableitung $\,\mathrm{d}R/\,\mathrm{d}\theta_{0}$ und zeigen Sie, dass sich aus $\,\mathrm{d}R/\,\mathrm{d}\theta_{0}=0$ für die maximale Reichweite θ = 45${}^{\circ}$ ergibt.

1.7.7 2.48 ••• 

Im Text wurde die Reichweite eines Geschosses berechnet, das auf der gleichen Höhe landet, auf der es abgeschossen wird. Das Ergebnis lautete $R=(|\boldsymbol{v}_{0}|^{2}/g)\,\mathrm{sin\> }(2\,\theta_{0})$. Ein Golfball, der von einem erhöhten Abschlag mit 45,0 m/s unter einem Winkel von 35,0${}^{\circ}$ geschlagen wird, landet auf einem Grün 20,0 m unter dem Abschlag (Abbildung 2.57). a) Ermitteln Sie aus der Gleichung $R=(|\boldsymbol{v}_{0}|^{2}/g)\,\mathrm{sin\> }(2\,\theta_{0})$ die Reichweite, wenn zunächst davon abgesehen wird, dass der Ball von dem erhöhten Abschlag aus geschlagen wird. b) Zeigen Sie, dass die Reichweite für die allgemeinere Aufgabenstellung der Abbildung 2.57 durch

$$R=\left(1+\sqrt{1-\frac{2\,g\,y}{|\boldsymbol{v}_{0}|^{2}\,\mathrm{sin\> }\,^{2}\theta_{0}}}\right)\cdot\frac{|\boldsymbol{v}_{0}|^{2}}{2\,g}\cdot\mathrm{sin\> }(2\,\theta_{0})$$

gegeben ist, wobei y die Höhe des Grüns über dem Abschlag ist (d. h. $y=-h$). c) Ermitteln Sie die Reichweite anschließend mit dieser Formel. Wie hoch ist der prozentuale Fehler, wenn der Höhenunterschied vernachlässigt wird?

Abb. 2.57

Zu Aufgabe 2.48.

1.7.8 2.49 ••• 

Ein Geschoss wird unter einem Winkel θ gegenüber dem Boden abgeschossen. Ein Beobachter, der an der Abschussstelle steht, beobachtet das Geschoss an seinem höchsten Punkt und misst den in Abbildung 2.58 eingezeichneten Winkel ϕ zwischen Geschoss und Boden. Zeigen Sie, dass

$$\mathrm{tan\> }\phi=\textstyle\frac{1}{2}\;\mathrm{tan\> }\theta$$

gilt.

Abb. 2.58

Zu Aufgabe 2.49.

1.7.9 2.50 ••• 

Eine Spielzeugkanone wird auf einer Rampe mit einem Neigungswinkel ϕ aufgestellt. Die Kanonenkugel wird bergauf mit einer Mündungsgeschwindigkeit v ₀ unter einem Winkel $\theta_{0}$ über der Horizontalen abgeschossen (Abbildung 2.59). Zeigen Sie, dass die Reichweite R der Kanonenkugel (auf der Rampe gemessen) gegeben ist durch

$$R=\frac{2\,v_{0}^{2}\,\mathrm{cos\> }\!^{2}\theta_{0}\,(\mathrm{tan\> }\theta_{0}-\mathrm{tan\> }\phi)}{g\,\mathrm{cos\> }\phi}\,.$$

Abb. 2.59

Zu Aufgabe 2.50.

1.7.10 2.51 ••• 

Eine Kugel verlässt die Gewehrmündung in 1,7 m Höhe über dem Boden mit 250 m/s. Sie soll ein auf der gleichen Höhe liegendes, 100 m von der Mündung entferntes Ziel treffen. a) Wie weit oberhalb des eigentlichen Zielpunkts liegt der Punkt, den man dabei anpeilen muss? b) Wie weit hinter dem Ziel trifft die Kugel auf dem Boden auf?

1.8 Kreisbewegung und Zentripetalbeschleunigung

1.8.1 2.52 • 

Mit welchem Beschleunigungsbetrag wird die Spitze des Minutenzeigers der Uhr aus Aufgabe 2.20 beschleunigt? Drücken Sie den Betrag als Bruchteil der Erdbeschleunigung g aus.

1.8.2 2.53 • 

Eine Zentrifuge dreht sich mit 15 000 U/min. a) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung, die eine Reagenzglasprobe in einer Entfernung von 15 cm von der Rotationsachse an dem Arm aushalten muss. b) Erst nach 1 min und 15 s erreicht die Zentrifuge aus der Ruhe ihre maximale Rotationsgeschwindigkeit. Berechnen Sie unter der Annahme einer konstanten Tangentialbeschleunigung deren Betrag während der Anlaufphase.

1.9 Allgemeine Aufgaben

1.9.1 2.54 •• 

Eine kleine Stahlkugel rollt horizontal mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 3,0 m/s von der obersten Stufe einer langen Treppe herab. Jede Stufe ist 0,18 m hoch und 0,30 m breit. Auf welche Stufe trifft die Kugel zuerst auf?

1.9.2 2.55 •• 

Galileo Galilei zeigte, dass die Reichweite von zwei Geschossen, die den Abschusswinkel von 45${}^{\circ}$ um den gleichen Betrag über- und unterschreiten, auf ebenem Feld unter Vernachlässigung der Luftreibung jeweils gleich ist. Beweisen Sie Galileis Aussage.

1.9.3 2.56 ••• 

Zur Bestimmung der Fallbeschleunigung in einem Physikexperiment wird ein Aufbau mit zwei Lichtschranken verwendet . (Lichtschranken sind Ihnen sicher schon im Alltag aufgefallen. Sie sind am Eingang mancher Geschäfte angebracht. Wenn jemand hindurchgeht und den Strahl unterbricht, ertönt eine Klingel.) Beim Experiment befindet sich eine Lichtschranke an einer 1,00 m hohen Tischkante und die zweite genau darunter unmittelbar über dem Boden. Eine Murmel, die Sie in einer Höhe von 0,50 m über der oberen Lichtschranke aus der Ruhe loslassen, soll durch diese Lichtschranken fallen. Beim Durchgang der Kugel durch die obere Lichtschranke startet diese eine Stoppuhr. Die zweite Lichtschranke hält die Stoppuhr an, wenn die Kugel ihren Strahl passiert. a) Beweisen Sie, dass der experimentelle Wert der Fallbeschleunigung $g_{\mathrm{exp}}=(2\Updelta y)/(\Updelta t)^{2}$ ist, wobei $\Updelta y$ die vertikale Strecke zwischen den Lichtschranken und $\Updelta t$ die Fallzeit ist. b) Welchen Wert von $\Updelta t$ erwarten Sie als Messergebnis, wenn für $g_{\mathrm{exp}}$ der Standardwert von $9{,}81\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ angenommen wird? c) Bei den Experimenten geschieht ein kleiner Irrtum. Ein unachtsamer Student bringt die erste Lichtschranke nicht genau an der Tischkante an, sondern 0,50 cm tiefer. Die zweite Lichtschranke befestigt er aber in der richtigen Höhe. Welchen Wert für $g_{\mathrm{exp}}$ werden Sie dann erhalten? Welcher prozentualen Abweichung gegenüber dem auf den Meeresspiegel bezogenen üblichen Wert entspricht das?

1.9.4 2.57 ••• 

Der Ort eines Körpers, der an einer Feder schwingt, ist durch $x=A\,\mathrm{sin\> }(\omega t)$ gegeben, wobei A und ω (kleiner griechischer Buchstabe omega) Konstanten mit den Werten $A=5{,}0$ cm und $\omega=0{,}175$ s${}^{-1}$ sind. a) Zeichnen Sie x als Funktion von t für $0\leq t\leq\text{36\,s}$. b) Messen Sie die Steigung der Kurve bei t = 0, um die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt zu ermitteln. c) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit für Zeitintervalle, die jeweils bei t = 0 beginnen und bei $t=6{,}0,\,3{,}0,\,2{,}0,\,1{,}0,\,0{,}50$ und 0,25 s enden. d) Ermitteln Sie $\,\mathrm{d}x/\,\mathrm{d}t$ und berechnen Sie die Geschwindigkeit zur Zeit t = 0. e) Vergleichen Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben c und d und erläutern Sie, weshalb sich die Ergebnisse von Teilaufgabe c an die von Teilaufgabe d annähern.

1.9.5 2.58 ••• 

Die Beschleunigung eines Teilchens sei folgende Funktion von x: $a_{x}(x)=(\text{2{,}0\,s}^{-2})\,x$. a) Welche Geschwindigkeit hat das Teilchen bei x = 3,0 m, wenn seine Geschwindigkeit bei x = 1,0 m null ist? b) Wie lange dauert es, bis das Teilchen von x = 1,0 m zu x = 3,0 m gelangt?

1.9.6 2.59 ••• 

Sie fahren mit dem Auto in der Stadt mit 40,0 km/h auf eine Kreuzung zu. Sie sehen, dass die Ampel an der Kreuzung 65 m vor Ihnen auf Gelb schaltet. Sie wissen, dass die Ampel an dieser Kreuzung genau 5,0 s gelb bleibt, bevor sie auf Rot schaltet. Zunächst brauchen Sie 1,0 s, um nachzudenken. Anschließend beschleunigen Sie das Auto gleichförmig. Sie schaffen es gerade, mit dem 4,5 m langen Auto über die 15,0 m breite Kreuzung zu kommen, da wird die Ampel auch schon rot. So entgehen Sie gerade einem Strafzettel für das Überfahren der Kreuzung bei Rot. Unmittelbar nachdem Sie über die Kreuzung sind, nehmen Sie beruhigt den Fuß vom Gaspedal. Kurze Zeit später werden Sie wegen überhöhter Geschwindigkeit angehalten. Sie nehmen an, dass Sie für zu schnelles Überfahren der Kreuzung bestraft werden sollen. Berechnen Sie diese Geschwindigkeit und entscheiden Sie, ob es sich lohnt, den Bußgeldbescheid anzufechten, wenn Sie davon ausgehen, dass eine Höchstgeschwindigkeit von 50,0 km/h gilt.