Physikalische Größen und Messungen

Zusammenfassung

Der Mensch war schon immer neugierig darauf, die ihn umgebende Welt zu ergründen, und sucht nach Wegen, die verwirrende Vielfalt von Ereignissen, die er beobachtet, zu ordnen, beispielsweise das Blau des Himmels, die Änderung des Klangs, wenn ein Auto vorüberfährt, das Wiegen der Bäume im Wind, den Sonnenauf- und -untergang oder den Flug eines Vogels. Bei der Suche nach Erkenntnis gibt es verschiedene Herangehensweisen: Eine davon ist die Religion, eine andere die Kunst und eine dritte die Wissenschaft. In der Wissenschaft unterscheidet man zwischen Naturwissenschaften wie der Physik und Geisteswissenschaften wie der Philosophie. Die Physik hat es sich zum Ziel gesetzt, die Grundgesetze des Universums und ihre Wirkungsweise zu beschreiben. Sie behandelt Kategorien wie Materie und Energie, Raum und Zeit.

Die Anzahl der Sandkörner an einem Strand kann man nicht abzählen. Mit geeigneten Annahmen und einfachen Berechnungen lässt sie sich aber schätzen. (Mit freundlicher Genehmigung von Anja Groth.)

? Wie viele Sandkörner liegen an Ihrem Lieblingsstrand? (Siehe Beispiel 1.6.)

Appendices

Im Kontext: Planck und das Kilogramm

Das Gramm wurde ursprünglich vom Meter des 1795 in Frankreich beschlossenen dezimalen Einheitensystems abgeleitet. Es sollte der Masse eines Kubikzentimeters Wasser bei der Temperatur schmelzenden Eises entsprechen. Ein 1799 gefertigter Platinzylinder, das sogenannte „Kilogramme des Archives“ war bezogen auf einen Kubikdezimeter Wasser bei $4\,^{\circ}$C. Der Handhabbarkeit wegen wurde die Masse dieses Prototyps gegenüber der ursprünglichen Definition „vertausendfacht“. Deshalb führt diese Grundeinheit den Vorsatz „Kilo“ im Namen. 1889 erklärt die „Meter-Konvention“ (www.bipm.org/en/convention) einen Platin-Iridium-Zylinder mit einem Durchmesser und einer Höhe von etwa 39 mm zum „Internationalen Kilogramm-Prototyp“. Die zugehörige Definition wird 1901 zur heute noch gültigen Fassung präzisiert: „Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps.“${}^{1}$

Kilogrammprototyp und „Avogadrokugel“ (© PTB/Stork.)

Die Masse dieses Urkilogramms ist damit genau 1 kg und hat keine Unsicherheit. Kopien des Prototyps werden allen interessierten Mitgliedsländern der Meterkonvention zur Verfügung gestellt. Die deutsche Prototypkopie (No. 52) ist auch das nationale Normal für das Kilogramm und befindet sich in der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB), die nach dem Einheiten- und Zeitgesetz in der Bundesrepublik Deutschland für die nationalen Normale zuständig ist. Über Vergleiche wird die Einheit „weitergegeben“, d. h. Gewichtstücke bekommen durch Vergleiche mit genaueren Gewichtstücken (Massenormale, zuallererst natürlich das Urkilogramm) Werte und Unsicherheiten zugewiesen, die aber schlussendlich mit dem Urkilogramm „verbunden“ sind. Diese Verbindung nennt man Rückführung. Über eine je nach Genauigkeit unterschiedlich lange, ununterbrochene Vergleichskette erhalten so alle im Handel (Eichung durch die Eichämter der Länder) und der Technik (meist Kalibrierung durch akkreditierte Kalibrierlaboratorien) verwendeten Gewichtstücke einen auf den internationalen Kilogrammprototypen rückführbaren Wert und eine entsprechende Unsicherheit zugewiesen bzw. werden einer vorgegebenen Genauigkeitsklasse zugeordnet.${}^{2}$ In der PTB wird die sogenannte Masseskala vom nationalen Normal abgeleitet, zu der hochgenaue Gewichtstücke zwischen 1 mg und 5 t zählen.${}^{3}$

Die Rückführung der Einheit auf ein Artefakt sorgt für die Einheitlichkeit dieses Maßes überall auf der Welt. Was aber passiert, wenn sich das Artefakt verändert? Würde das Urkilogramm um die Hälfte leichter, dann würden aufgrund der Definition die Dinge überall auf der Welt das Doppelte wiegen – jedenfalls dem Zahlenwert nach. Das ist metrologisch nicht befriedigend. Noch dazu legen Vergleiche der nationalen Prototypkopien mit dem Urkilogramm den Schluss nahe, dass sich der internationale Prototyp tatsächlich verändert, etwa 50 $\upmu$g in 100 Jahren. Deshalb gibt es seit geraumer Zeit Bemühungen, auch die Einheit der Masse auf der Grundlage einer Naturkonstanten zu definieren.

Ein möglicher Kandidat ist die Planck-Konstante h. Was hat nun Planck mit dem Kilogramm zu tun? Die Planck-Konstante bietet die Möglichkeit die Quanteneffekte elektrischer Messungen mit den makroskopischen Messgrößen der Mechanik zu verbinden. Für die Realisierung dieses Zusammenhangs existieren zurzeit zwei unabhängige Experimente. Das eine ist die Wattwaage, bei der mechanische und elektrische Leistungen verglichen werden${}^{4}$, und das zweite ist das Avogadro-Projekt oder auch x-ray crystal density-Experiment${}^{5}$, an dem die PTB maßgeblich beteiligt ist. Dabei wird die Planck-Konstante indirekt über die Avogadro-Konstante (Teilchenzahl je Stoffmenge) abgeleitet. Für deren Ermittlung werden die Atome in einer fast perfekt runden, monokristallinen Siliciumkugel mit möglichst genau bekanntem Volumen „gezählt“. Zurzeit gibt es noch Abweichungen zwischen den bestehenden Experimenten, die von den Metrologen nicht eindeutig erklärt werden können. Für eine Neudefinition des Kilogramms müssen ihre Ergebnisse aber mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit übereinstimmen. Wenn die Wissenschaft die Daten mit der nötigen Genauigkeit liefert, soll das Kilogramm durch die exakte Festlegung des Zahlenwerts der Planck-Konstante definiert werden. Das ist zugegebenermaßen nicht so gut vorstellbar wie ein Artefakt, beinhaltet aber die Möglichkeit, alle SI-Basiseinheiten auf der Grundlage eines geschlossenen Satzes von Naturkonstanten zu definieren – in der Hoffnung, dass diese auch wirklich konstant sind.

• 1. „Das internationale Einheitensystem“, PTB Mitteilungen, Sonderdruck aus 117. Jahrgang, Heft 2, Juni 2007, doi:10.7795/310.20070299, www.ptb.de.

• 2. OIML R111; International Recommendation OIML R111 R111 Weights of classes E1, E2, F1, F2, M1, M1-2, M2, M2-3 and M3; www.oiml.org.

• 3. Darstellung der Masseskala, Borys, Scholz, Firlus, PTB Mitteilungen, 118. Jahrgang, Heft 2, Februar 2008, doi:10.7795/310.20080203.

• 4. Watt balance experiments for the determination of the Planck constant and the redefinition of the kilogram, M Stock, 2013, Metrologia 50 R1 doi:10.1088/0026-1394/50/1/R1.

• 5. International Avogadro-Project, http://www.bipm.org/en/scientific/mass/avogadro/ (Stand 01/2014).

Dr. Dorothea Knopf studierte Elektrotechnik mit der Vertiefung Prozessmess- und Sensortechnik an der TU Ilmenau und promovierte dort 1997 in diesem Fach. Seit 1993 ist die Physikalisch-Technische Bundesanstalt ihre berufliche Heimat. Zuerst beschäftigte sie sich mit der Herstellung von hochgenauen Gasgemischen und der Atemalkoholmessung. Zurzeit leitet sie ein Team von 19 Frauen und Männern im Bereich Masse und Wägetechnik.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 1.1 • 

Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine Grundgröße des SI-Systems? a) Masse, b) Länge, c) Energie, d) Zeit, e) alle genannten sind physikalische Grundeinheiten.

1.1.2 1.2 • 

Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/s im Zähler und m/s${}^{2}$ im Nenner. Wie lautet die endgültige Maßeinheit? a) m${}^{2}$/s${}^{3}$, b) 1/s, c) s${}^{3}$/m${}^{2}$, d) s, e) m/s.

1.1.3 1.3 • 

Wie viele signifikante Stellen hat die Zahl 0,000 513 0? a) eine, b) drei, c) vier, d) sieben, e) acht.

1.1.4 1.4 • 

Richtig oder falsch? Zwei Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um multipliziert werden zu können.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 1.5 • 

Die Annahme, dass der menschliche Körper im Wesentlichen aus Wasser besteht, ermöglicht einige gute Schätzungen. Ein Wassermolekül hat eine Masse von $29{,}9\cdot 10^{-27}\text{\,kg}$. Schätzen Sie die Anzahl der Wassermoleküle eines Menschen mit einer Masse von 60 kg.

1.2.2 1.6 •• 

a) Schätzen Sie, wie viele Liter Benzin die Autos in den USA jeden Tag verbrauchen sowie den Geldwert dieser Benzinmenge. b) Aus einem Barrel Rohöl können 73,43 l Benzin gewonnen werden. Wie viele Barrel Rohöl müssen die USA demnach zur Benzingewinnung jährlich importieren? Wie vielen Barrel pro Tag entspricht das? (1 Barrel$\ \widehat{=}\$158,76 l)

1.2.3 1.7 •• 

Das sogenannte „Megabyte“ (MB) ist eine Maßeinheit für die Kapazität bzw. das Fassungsvermögen von Computerspeichern, CD-ROMs oder Musik- bzw. Sprach-CDs . Beispielsweise kann eine Musik-CD mit ihrer Speicherkapazität von 700 MB etwa 70 min Musik in HiFi-Qualität speichern. a) Wie viele MB werden für einen 5 min langen Musiktitel benötigt? b) Schätzen Sie, wie viele Romane auf einer CD-ROM gespeichert werden können, wenn pro Druckseite Text durchschnittlich 5 KB an Speicherplatz benötigt werden.

1.3 Maßeinheiten

1.3.1 1.8 • 

Drücken Sie die folgenden Werte mithilfe der in Tabelle 1.1 aufgeführten Vorsätzen aus. Beispiel: 10 000 Meter = 10 km. a) 1 000 000 Watt, b) 0,002 Gramm, c) $3\cdot 10^{-6}$ Meter, d) 30 000 Sekunden.

1.3.2 1.9 •• 

In den folgenden Gleichungen werden die Strecke x in Metern, die Zeit t in Sekunden und die Geschwindigkeit v in Metern pro Sekunde angegeben. Welche SI-Einheiten besitzen die folgenden Konstanten C ₁ und C ₂? a) $x=C_{1}+C_{2}\,t$, b) $x=\frac{1}{2}\,C_{1}\,t^{2}$, c) $v^{2}=2\,C_{1}\,x$, d) $x=C_{1}\,\mathrm{cos\> }C_{2}\,t$, e) $v^{2}=2\,C_{1}\,v-(C_{2}\,x)^{2}$.

1.4 Umrechnen von Einheiten

1.4.1 1.10 • 

Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt 340 m/s. Sie wird in der Luft- und Raumfahrt nach Ernst Mach als Mach 1 bezeichnet. Wie hoch ist die Geschwindigkeit in km/h eines Überschallflugzeugs, das mit Mach 2, also doppelter Schallgeschwindigkeit, fliegt?

1.4.2 1.11 •• 

Im Folgenden seien x in Metern, t in Sekunden, v in Metern pro Sekunde und die Beschleunigung a in Metern pro Sekunde zum Quadrat gegeben. Gesucht sind die SI-Einheiten für die Kombinationen a) $v^{2}/x$, b) $\sqrt{x/a}$, c) $\frac{1}{2}\,a\,t^{2}$.

1.5 Dimensionen physikalischer Größen

1.5.1 1.12 • 

Das Gesetz für den radioaktiven Zerfall lautet $n(t)=n_{0}\text{e}^{-\lambda\,t}$, wobei n ₀ die Anzahl der radioaktiven Kerne zur Zeit t = 0, $n(t)$ die Anzahl der davon zum Zeitpunkt t verbliebenen Kerne und λ die sogenannte Zerfallskonstante ist. Welche Dimension hat λ?

1.5.2 1.13 •• 

Die SI-Einheit der Kraft (kg $\cdot$ m/s${}^{2}$) wird Newton (N) genannt. Gesucht sind die Dimension und die SI-Einheit der Konstanten $\varGamma$ im Newton’schen Gravitationsgesetz $F=\varGamma\,m_{1}\,m_{2}/r^{2}$.

1.5.3 1.14 •• 

Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seiner Geschwindigkeit und seiner Masse. Zeigen Sie, dass der Impuls die Dimension Kraft mal Zeit besitzt.

1.5.4 1.15 •• 

Wenn ein Gegenstand in der Luft fällt, gibt es eine Widerstandskraft, die vom Produkt der Querschnittsfläche des Gegenstands und vom Quadrat seiner Geschwindigkeit abhängt. Somit ist $F_{\mathrm{Luft}}=C\,A\,v^{2}$, wobei C eine Konstante ist. Bestimmen Sie die Dimension von C.

1.6 Exponentialschreibweiseund signifikante Stellen

1.6.1 1.16 • 

Drücken Sie folgende Zahlen in der Exponentialschreibweise aus: a) 1 345 100 m =       km, b) 12 340,0 kW =        MW, c) 54,32 ps =        s, d) 3,0 m =        mm.

1.7 Allgemeine Aufgaben

1.7.1 1.17 •• 

Ein Eisenatomkern hat einen Radius von $5{,}4\cdot 10^{-15}\text{\,m}$ und eine Masse von $9{,}3\cdot 10^{-26}\text{ kg}$. a) Wie groß ist das Verhältnis der Masse zum Volumen in kg/m${}^{3}$? b) Angenommen, die Erde hätte das gleiche Masse-Volumen-Verhältnis. Wie groß wäre dann ihr Radius? (Die Masse der Erde beträgt $5{,}98\cdot 10^{24}\text{ kg}$.)

1.7.2 1.18 •• 

Wenn die durchschnittliche Dichte des Universums mindestens $6\cdot 10^{-27}\text{kg/m}^{3}$ beträgt, wird seine Expansion eines Tages aufhören und es zu kontrahieren beginnen. a) Wie viele Elektronen pro Kubikmeter sind notwendig, um die kritische Dichte zu erzeugen? b) Wie viele Protonen pro Kubikmeter würden die kritische Dichte erzeugen? ($m_{\mathrm{e}}=9{,}11\cdot 10^{-31}\text{\,kg}$; $m_{\mathrm{P}}=1{,}67\cdot 10^{-27}\text{\,kg}$)

1.7.3 1.19 •• 

Eine astronomische Einheit (1 AE) ist als der mittlere Abstand der Mittelpunkte der Erde und der Sonne definiert. Sie beträgt $1{,}496\cdot 10^{11}\text{\,m}$. Ein Parsec (1 pc) ist der Radius eines Kreises, dessen Kreisbogen bei einem Zentriwinkel von einer Bogensekunde ($=\frac{1}{3600}\,^{\circ}$) genau 1 AE lang ist (Abbildung 1.5 ). Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. a) Wie viele Parsec bilden eine astronomische Einheit? b) Wie viele Meter entsprechen einem Parsec? c) Wie viele Meter umfasst ein Lichtjahr? d) Wie viele astronomische Einheiten enthält ein Lichtjahr? e) Wie viele Lichtjahre bilden ein Parsec?

Abb. 1.5

Zu Aufgabe 1.19.

1.7.4 1.20 •• 

In der folgenden Tabelle stehen die Umlaufzeiten T und die Radien r der Umlaufbahnen für die Bewegungen von vier Satelliten, die einen schweren Asteroiden mit hoher Dichte umkreisen. a) Die Daten lassen sich durch die Formel $T=C\,r^{n}$ beschreiben. Ermitteln Sie die Werte der Konstanten C und n. b) Es wird ein fünfter Satellit mit einer Umlaufzeit von 6,20 a entdeckt. Bestimmen Sie ausgehend von der Formel den Radius der Umlaufbahn dieses Satelliten.

Table 5

1.7.5 1.21 ••• 

Die Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels hängt von seiner Länge l und von der Erdbeschleunigung g (Dimension $l/T^{2}$) ab. a) Ermitteln Sie eine einfache Kombination von l und g, die die Dimension der Zeit hat. b) Überprüfen Sie durch Messen der Schwingungsdauer (der Dauer für ein vollständiges Hin- und Herschwingen) eines Pendels mit zwei verschiedenen Pendellängen l die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Länge l. c) Die richtige Formel für T, l und g enthält eine Konstante, die ein Vielfaches von π ist und sich nicht aus der Dimensionsbetrachtung in Aufgabe a ergibt. Sie kann aber experimentell wie in Teilaufgabe b ermittelt werden, wenn g bekannt ist. Berechnen Sie für $g=9{,}81\text{ m/s${}^{2}$}$ und mithilfe Ihrer experimentellen Ergebnisse aus Teilaufgabe b die genaue Beziehung zwischen T, l und g.