Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik

Zusammenfassung

In den letzten Jahren ist uns stärker bewusst geworden, dass wir Energie sparen müssen. Doch können wir das überhaupt, wenn der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Energie in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt? Die Antwort lautet „ja“, denn die Gesamtenergie bleibt zwar stets diesselbe, es gibt jedoch gut nutzbare und weniger nutzbare Energieformen, mit denen wir uns in diesem Kapitel beschäftigen werden.

In dieser alten Lokomotive wird Dampf erzeugt, der an einem Kolben Arbeit verrichtet und dadurch den Antrieb bewirkt. Der Wirkungsgrad einer Dampfmaschine erfüllt den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. (© DGEG Eisenbahnmuseum Neustadt/Weinstraße, Foto: Thomas Kayser.)

? Welchen Wirkungsgrad kann diese Maschine höchstens haben? (Siehe Beispiel 16.4.)

Appendices

Im Kontext: Das „Perpetuum mobile“

Seit jeher träumen die Menschen davon, eine Maschine zu konstruieren, die ohne jegliche Energiezufuhr ständig Arbeit verrichtet, ein sogenanntes „Perpetuum mobile“. Solch eine Maschine kann es jedoch nach den Hauptsätzen der Thermodynamik nicht geben. Im Laufe der Zeit hat es schon viele Erfinder gegeben, die auf die eine oder andere Art eine solche Maschine entworfen haben. Je nachdem, welchen Hauptsatz diese Maschinen verletzen, teilt man sie in die folgenden Kategorien:

Maschinen der ersten Kategorie widersprechen dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, denn sie würden Energie aus dem Nichts erzeugen oder mehr Energie liefern, als ihnen zugeführt wird. Die ersten bekannten Versuche sollten unter Zuhilfenahme der Gewichtskraft eine Drehbewegung ausnutzen. Ein nicht ausgewuchtetes Rad war mit Stäben versehen, die eine immerwährende Drehbewegung des Rades in einer Richtung bewirken sollten. Nach einem anderen Entwurf, wie er beispielsweise von Leonardo da Vinci vorgeschlagen wurde, sollte ein Wasserrad sowohl eine Mühle als auch eine Pumpe antreiben, die das Wasser wieder in eine solche Höhe pumpte, dass es wiederum das Wasserrad antreiben konnte.${}^{1}$

Später versuchte man es häufig mit Kombinationen von Auftriebskraft und Drehbewegung.${}^{2}$ Entwürfe für Auftriebsräder und -riemen enthielten Lufttaschen, Ketten und miteinander verbundene Schläuche.${}^{3}$ Doch bei keinem derartigen Ansatz wurde die Arbeit berücksichtigt, die erforderlich ist, um die Lufttaschen wieder zu füllen oder um die inneren Gewichte wieder anzuheben.

Maschinen der zweiten Kategorie widersprechen dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Bei ihnen wird zwar nicht behauptet, dass sie Energie aus dem Nichts erzeugen (was dem Ersten Hauptsatz widerspräche), aber sie entsprächen wärme- oder dampfbetriebenen Maschinen mit einem unmöglich hohen Wirkungsgrad. Berühmt wurde der Entwurf des sogenannten Zeromotors (wörtlich: „Nullmotors“) von John Gamgee aus dem Jahre 1880. Sein Motor, der Schiffsschrauben antreiben sollte,${}^{4}$ war eine besondere Ausführung des Ammoniakmotors. Ammoniak, das bei einer Temperatur nahe bei 0 ${}^{\circ}$C siedet, sollte in flüssiger Form in einen Zylinder eingespritzt werden, der mit einem beweglichen Kolben versehen war. Bei seiner Expansion sollte das verdampfende Ammoniak den Kolben nach außen drücken. Aufgrund dieser Expansion sollte es so weit abkühlen, dass es wieder kondensieren, danach erneut verdampfen kann usw. Dieser zyklische Vorgang sollte sich ohne Aufnahme oder Abgabe von Wärme ständig wiederholen. Das widerspricht eklatant den damals schon lange bekannten Erkenntnissen von Sadi Carnot – und folgerichtig konnte auch Gamgees Zeromotor nicht funktionieren. Ebenso erging es vergleichbaren Entwürfen vom Maschinen, deren Arbeitsprinzip dem Zweiten Hauptsatz widerspricht. Der Dampf muss nämlich wieder kondensieren (und dabei Wärme abgeben), damit ein vollständiger Zyklus durchlaufen werden kann.

Schon im Jahre 1775 stellte die französische Akademie der Wissenschaften klar, dass jegliche Bemühungen um ein Perpetuum mobile nur einen unnützen Zeitaufwand darstellen. Daher sollten sämtliche Patenteinreichungen verworfen werden, in denen die Erfindung derartiger Vorrichtungen beansprucht wurden.${}^{5}$ 1856 wurde in den USA und in Großbritannien offiziell davon abgeraten, Patentschriften einzureichen, die sich auf ein Perpetuum mobile bezogen.${}^{6}$ Dennoch findet man derartige Patentansprüche noch jüngeren Datums.${}^{7}$ Es kommt sogar vor, dass ein Perpetuum mobile${}^{8}$ von den Patentämtern nicht als solches erkannt wird, wie es dem US-Patentamt passierte${}^{9}$, und obwohl die Physik bereits unwiderlegbar bewiesen hat, dass eine solche Konstruktion nicht realisierbar ist, tauchen stetig neue Ideen zu diesem Thema auf.

Dieses Rad ist nur scheinbar nicht ausgewuchtet. Links von der Drehachse befinden sich zwar mehr Stäbe als rechts von ihr. Doch der Massenmittelpunkt befindet sich genau senkrecht unter der Drehachse. (Wenn man beispielsweise nur vier am Umfang gleichmäßig verteilte Stäbe vorsieht, lässt sich diese Position des Massenmittelpunkts rechnerisch ohne große Schwierigkeiten nachvollziehen.)

• 1. Leonardo3, „Pompe Meccaniche e a Moto Perpetuo“, Codex Atlanticus, Mailand: Leonardo3 srl, 2005.

• 2. „Austin’s Perpetual Motion“, Scientific American, 27. März 1847, 2, Nr. 27, S. 209.

• 3. Diamond, D., „Gravity-Actuated Fluid Displacement Power Generator“, US-Patent 3.934.964, 27. Jan. 1976.

• 4. Park, R., Voodoo Science. Oxford: Oxford University Press, 2000, S.  129–130.

• 5. Ward, J., Naturalism and Agnosticism, 1. London: Black, 1906.

• 6. „Patent Correspondence“, Scientific American, Sept. 1856, 20, Nr. 1, S. 343.

• 7. Wine, B., „Energy Information“. http://byronwine.com.

• 8. Voss, D., „ ‚New Physics‘ Finds a Haven at the Patent Office“, Science, 21. Mai 1999, 284, Nr. 5418, S.  1252–1254.

• 9. Collins, G. P., „There’s No Stopping Them“, Scientific American, 22. Okt. 2002, S. 41.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 16.1 • 

Warum ist es sinnlos, die Kühlschranktür offen zu halten, wenn man bei heißem Wetter die Küche kühlen will? Und warum kühlt im Gegensatz dazu eine Klimaanlage den Raum?

1.1.2 16.2 • 

Warum versucht man, in Kraftwerken die Temperatur des den Turbinen zugeführten Dampfs so hoch wie möglich anzusetzen?

1.1.3 16.3 • 

Welche der nachstehend genannten Maßnahmen ist am besten geeignet, um den Wirkungsgrad einer Carnot-Wärmekraftmaschine zu steigern? a) Die Temperatur des wärmeren Reservoirs wird gesenkt. b) Die Temperatur des kälteren Reservoirs wird erhöht. c) Die Temperatur des wärmeren Reservoirs wird erhöht. d) Das Verhältnis des maximalen Volumens zum minimalen Volumen wird geändert.

1.1.4 16.4 •• 

An einem Tag mit hoher Luftfeuchtigkeit kondensiert Wasser an einer kalten Oberfläche. Wie ändert sich bei der Kondensation die Entropie des Wassers? a) Sie steigt. b) Sie bleibt gleich. c) Sie sinkt. d) Sie kann abnehmen oder unverändert bleiben. Begründen Sie Ihre Antwort.

1.1.5 16.5 •• 

Ein ideales Gas durchläuft reversibel eine Zustandsänderung vom Anfangszustand p ₁, V ₁, T ₁ zum Endzustand p ₂, V ₂, T ₂. Es stehen zwei mögliche Wege zur Auswahl: A) eine isotherme Expansion, gefolgt von einer adiabatischen Kompression, und B) eine adiabatische Kompression, gefolgt von einer isothermen Expansion. Was trifft für diese beiden Wege zu? a) $\Updelta U_{\mathrm{A}}> \Updelta U_{\mathrm{B}}$, b) $\Updelta S_{\mathrm{A}}> \Updelta S_{\mathrm{B}}$, c) $\Updelta S_{\mathrm{A}}<\Updelta S_{\mathrm{B}}$, d) keine dieser Beziehungen.

1.1.6 16.6 •• 

Abbildung 16.12 zeigt das S-T-Diagramm eines Kreisprozesses mit einem idealen Gas. Um welchen Prozess handelt es sich? Skizzieren Sie sein p-V-Diagramm.

Abb. 16.12

Zu Aufgabe 16.6.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 16.7 •• 

Schätzen Sie den maximalen Wirkungsgrad eines Ottomotors mit dem Verdichtungsverhältnis 8,0 : 1,0 ab. Legen Sie den Otto-Kreisprozess (siehe Abbildung 16.3) zugrunde und setzen Sie $\gamma=1{,}4$.

1.2.2 16.8 •• 

Die mittlere Oberflächentemperatur der Sonne liegt bei rund 5400 K und die der Erde bei rund 290 K. Die Solarkonstante beträgt etwa 1,37 kW/m${}^{2}$ (das ist die Leistung pro Fläche, die durch Sonneneinstrahlung auf die Erde auftrifft). a) Schätzen Sie die gesamte Strahlungsleistung der Sonne ab, die auf die Erde trifft. b) Wie stark erhöht sich pro Zeiteinheit die Entropie der Erde durch diese Strahlungsleistung? c) Wie stark sinkt pro Zeiteinheit die Entropie der Sonne aufgrund des Anteils der von ihr emittierten Strahlung, der auf die Erde trifft?

1.2.3 16.9 ••• 

„Soweit wir wissen, hat die Natur niemals eine Wärmekraftmaschine hervorgebracht.“ Dies schrieb Steven Vogel 1988 in seinem Werk Life’s Devices. a) Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine, die zwischen Reservoiren mit der menschlichen Körpertemperatur (37 ${}^{\circ}$C) und einer mittleren Außentemperatur von 21 ${}^{\circ}$C arbeitet. Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit dem Wirkungsgrad von rund 0,2, mit dem der menschliche Körper chemische in mechanische Energie umsetzt. Widerspricht das Ergebnis dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik? b) Verwenden Sie die Ergebnisse von a sowie Ihre Kenntnisse über die Lebensbedingungen der meisten Warmblüter. Erklären Sie, warum die Warmblüter im Verlauf der Evolution keine „Wärmekraftmaschine“ entwickelt haben, mit der sie ihre innere Energie erhöhen könnten.

1.3 Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen

1.3.1 16.10 • 

Eine Wärmekraftmaschine mit einem Wirkungsgrad von 20,0 % verrichtet pro Zyklus 0,100 kJ Arbeit. a) Wie viel Wärme wird pro Zyklus aus dem wärmeren Reservoir aufgenommen? b) Wie viel Wärme wird pro Zyklus an das kältere Reservoir abgegeben?

1.3.2 16.11 • 

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt pro Zyklus 0,400 kJ Wärme aus dem wärmeren Reservoir und verrichtet 0,120 kJ Arbeit. a) Wie hoch ist ihr Wirkungsgrad? b) Wie viel Wärme wird pro Zyklus an das kältere Reservoir abgegeben?

1.3.3 16.12 •• 

Eine Wärmekraftmaschine enthält als Arbeitssubstanz 1,00 mol eines idealen Gases. Zu Beginn hat dieses ein Volumen von 24,6 l und eine Temperatur von 400 K. Sie durchläuft folgenden vierschrittigen Kreisprozess: 1) isotherme Expansion bei 400 K auf das doppelte Volumen, 2) Abkühlung bei konstantem Volumen auf 300 K, 3) isotherme Kompression auf das Anfangsvolumen, 4) Erwärmung bei konstantem Volumen auf die Anfangstemperatur 400 K. Skizzieren Sie das p-V-Diagramm für den angegebenen Kreisprozess. Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Maschine; setzen Sie dabei $C_{V}=21{,}0\text{\,J}\cdot\text{K}^{-1}$.

1.3.4 16.13 ••• 

Der Kreisprozess für die Vorgänge im Dieselmotor (der sogenannte „Diesel-Kreisprozess“) ist in Abbildung 16.13 schematisch dargestellt. Von a nach b wird adiabatisch komprimiert, von b nach c bei konstantem Druck expandiert. Der Prozess von c nach d ist eine adiabatische Expansion, von d nach a wird bei konstantem Volumen abgekühlt. Berechnen Sie den Wirkungsgrad dieses Kreisprozesses als Funktion der Volumina V _a , V _b und V _c .

Abb. 16.13

Zu Aufgabe 16.13.

1.4 Der Zweite Hauptsatz

1.4.1 16.14 •• 

Wenn sich in einem p-V-Diagramm zwei Kurven schneiden, die reversible adiabatische Prozesse darstellen, so kann durch Hinzufügen einer Isotherme zwischen beiden Adiabaten ein Kreisprozess konstruiert werden (Abbildung 16.14). Zeigen Sie, dass ein solcher Kreisprozess den Zweiten Hauptsatz verletzt.

Abb. 16.14

Zu Aufgabe 16.14.

1.5 Carnot-Kreisprozesse

1.5.1 16.15 • 

Eine Carnot-Maschine arbeitet zwischen zwei Reservoiren mit den Temperaturen $T_{\mathrm{w}}=\text{300\,K}$ und $T_{\mathrm{k}}=\text{200\,K}$. a) Wie hoch ist ihr Wirkungsgrad? b) Wie viel Arbeit verrichtet sie pro Zyklus, wenn sie 100 J aus dem wärmeren Reservoir aufnimmt? c) Wie viel Wärme gibt sie in jedem Zyklus an das kältere Reservoir ab? d) Wie hoch ist ihre Leistungszahl, wenn sie zwischen denselben Reservoiren in umgekehrter Richtung als Kältemaschine arbeitet?

1.5.2 16.16 • 

Eine Carnot-Maschine arbeitet zwischen zwei Reservoiren mit den Temperaturen $T_{\mathrm{w}}=\text{300\,K}$ und $T_{\mathrm{k}}=\text{77{,}0\,K}$. a) Wie hoch ist ihr Wirkungsgrad? b) Wie viel Arbeit wird verrichtet, wenn sie pro Zyklus 100 J aus dem wärmeren Reservoir aufnimmt? c) Wie viel Wärme gibt sie in jedem Zyklus an das kältere Reservoir ab? d) Wie hoch ist ihre Leistungszahl, wenn sie zwischen denselben Reservoiren in umgekehrter Richtung als Kältemaschine arbeitet?

1.5.3 16.17 •• 

Der Kreisprozess in Abbildung 16.15 wird mit 1,00 mol eines zweiatomigen Gases durchgeführt, das sich wie ein ideales Gas verhält und für das $\gamma=1{,}4$ ist. Zu Anfang beträgt der Druck 1,00 bar und die Temperatur 0,0 ${}^{\circ}$C. Das Gas wird bei konstantem Volumen auf $T_{2}=150{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$ aufgeheizt und anschließend adiabatisch expandiert, bis der Druck wieder 1,00 bar beträgt. Schließlich wird es bei konstantem Druck auf den Endzustand komprimiert. Ermitteln Sie a) die Temperatur T ₃ nach der adiabatischen Expansion, b) die vom Gas bei jedem Schritt abgegebene oder aufgenommene Wärmemenge, c) den Wirkungsgrad dieses Kreisprozesses, d) den Carnot-Wirkungsgrad eines Kreisprozesses zwischen der niedrigsten und der höchsten hier auftretenden Temperatur.

Abb. 16.15

Zu Aufgabe 16.17.

1.5.4 16.18 •• 

Einer Dampfmaschine wird überhitzter Wasserdampf mit einer Temperatur von 270 ${}^{\circ}$C zugeführt. Aus ihrem Arbeitszylinder gibt sie kondensierten Dampf, also Wasser, mit 50,0 ${}^{\circ}$C ab. Der Wirkungsgrad wurde zu 0,300 gemessen. a) Vergleichen Sie diesen Wert mit dem theoretischen Wirkungsgrad bei den angegebenen Temperaturen. b) Angenommen, die Maschine liefert 200 kW an nutzbarer mechanischer Leistung. Wie viel Wärme gibt sie dann in 1,00 h an die Umgebung ab?

1.6 Wärmepumpen

1.6.1 16.19 • 

Eine Wärmepumpe führt der Heizung eines Hauses eine Wärmeleistung von 20 kW zu. Die Außentemperatur beträgt $-10{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$, und die Temperatur des Heizkessels liegt bei 40 ${}^{\circ}$C. a) Wie hoch wäre die Leistungszahl, wenn die Maschine bei denselben Temperaturen vollkommen reversibel, also mit dem Carnot-Wirkungsgrad, arbeitete? b) Mit welcher elektrischen Leistung müsste die ideale Wärmepumpe dabei mindestens betrieben werden? c) Angenommen, die Wärmepumpe erreicht 60 % der theoretischen Leistungszahl einer idealen Wärmepumpe. Mit welcher elektrischen Leistung muss sie dann mindestens betrieben werden?

1.7 Entropieänderungen

1.7.1 16.20 • 

Sie haben einen Topf mit Wasser versehentlich auf dem eingeschalteten Herd stehen lassen und bemerken dies gerade noch rechtzeitig, bevor das letzte Tröpfchen Wasser verdampft. Zu Beginn hatten sich 1,00 l Wasser im Topf befunden. Wie hoch ist die Entropieänderung des Wassers infolge seiner Zustandsänderung von flüssig zu gasförmig?

1.7.2 16.21 • 

Wie stark ändert sich die Entropie von 1,00 mol flüssigen Wassers, wenn es bei 0,0 ${}^{\circ}$C zu Eis gefriert?

1.7.3 16.22 •• 

Im Gefrierfach eines Kühlschranks werden 50,0 g Wasser, die eine Anfangstemperatur von 0,0 ${}^{\circ}$C haben, gefroren und auf $-10{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$ abgekühlt. Nehmen Sie an, die Wände des Gefrierfachs werden dabei auf einer konstanten Temperatur von $-10{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$ gehalten. Zeigen Sie, dass die Entropie des Universums zunimmt, obwohl die Entropie des Wassers bzw. Eises abnimmt.

1.7.4 16.23 •• 

2,00 mol eines idealen Gases expandieren bei 400 K reversibel und isotherm vom Anfangsvolumen 40,0 l auf das doppelte Volumen. Wie hoch sind die Entropieänderungen a) des Gases und b) des Universums?

1.7.5 16.24 •• 

Ein 200-kg-Block Eis mit 0,0 ${}^{\circ}$C wird in einen großen See gelegt. Dessen Temperatur liegt nur geringfügig über 0,0 ${}^{\circ}$C, sodass das Eis sehr langsam schmilzt. Bestimmen Sie die nach dem Schmelzen eingetretenen Entropieänderungen: a) des Eises, b) des Sees, c) des Universums (Eis plus See).

1.7.6 16.25 •• 

Ein Kupferblock mit der Masse 1,00 kg hat eine Temperatur von 100 ${}^{\circ}$C. Er wird in ein Kalorimeter mit vernachlässigbarer Wärmekapazität gegeben, das 4,00 l flüssiges Wasser mit 0,0 ${}^{\circ}$C enthält. Wie groß sind die Entropieänderungen a) des Kupferblocks, b) des Wassers, c) des Universums?

1.8 Entropie und entwertete Energie

1.8.1 16.26 •• 

Ein Reservoir mit 300 K nimmt aus einem zweiten Reservoir mit 400 K eine Wärmemenge von 500 J auf. a) Wie groß ist die Entropieänderung des Universums? b) Wie viel Energie wird bei diesem Prozess entwertet bzw. „geht verloren“?

1.9 Allgemeine Aufgaben

1.9.1 16.27 • 

Eine Wärmekraftmaschine nimmt in jedem Zyklus 150 J aus einem Reservoir mit 100 ${}^{\circ}$C auf und gibt 125 J an ein Reservoir mit 20 ${}^{\circ}$C ab. a) Wie hoch ist der Wirkungsgrad dieser Maschine? b) Wie hoch ist dieser Wirkungsgrad im Verhältnis zum Carnot-Wirkungsgrad bei denselben Reservoiren?

1.9.2 16.28 • 

Um die Temperatur in einem Haus auf 20 ${}^{\circ}$C zu halten, nimmt eine elektrische Fußbodenheizung an einem Tag mit einer Außentemperatur von $-7{,}0{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$ eine Leistung von 30,0 kW auf. Wie viel trägt dieses Beheizen pro Stunde zur Entropieerhöhung des Universums bei?

1.9.3 16.29 •• 

Zeigen Sie, dass die Leistungszahl $\varepsilon_{\mathrm{KM}}$ einer Carnot-Kältemaschine folgendermaßen mit dem Carnot-Wirkungsgrad $\varepsilon_{\mathrm{max}}$ zusammenhängt: $\varepsilon_{\mathrm{KM}}=T_{\mathrm{k}}/(\varepsilon_{\mathrm{max}}\,T_{\mathrm{w}})$.

1.9.4 16.30 •• 

Vergleichen Sie den Wirkungsgrad des Otto-Kreisprozesses (siehe Abschnitt 16.1) mit dem einer Carnot-Maschine, die zwischen denselben Temperaturen arbeitet.

1.9.5 16.31 ••• 

Der englische Logiker und Philosoph Bertrand Russell (1872–1970) behauptete einmal, dass eine Million Affen, die eine Million Jahre lang auf je einer Schreibmaschine völlig ungezielt herumtippen, sämtliche Werke von Shakespeare hervorbringen könnten. Beschränken wir uns hier auf einige Sätze aus Julius Caesar (3. Akt, 2. Szene), die Marcus Antonius zu den Römern spricht:

Friends, Romans, countrymen! Lend me your ears. I come to bury Caesar, not to praise him. The evil that men do lives after them, The good is oft interred with the bones. So let it be with Caesar. The noble Brutus hath told you that Caesar was ambitious, And, if so, it were a grievous fault, And grievously hath Caesar answered it …

Selbst für diesen kurzen Ausschnitt würden die Affen nach der eben beschriebenen Methode wesentlich länger als eine Million Jahre brauchen. Um welchen Faktor irrte sich Russel näherungsweise? Treffen Sie dabei die nötigen Annahmen (darunter auch die, dass die Affen unsterblich sind).