Wärme und der Erste Hauptsatz der Thermodynamik

Zusammenfassung

Die Beziehung zwischen einer Erwärmung eines Systems, einer an ihm verrichteten Arbeit und einer Änderung seiner inneren Energie wird durch den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben. In Teil I dieses Buches haben wir die Bewegung besprochen, nun wenden wir uns der Rolle zu, die die Wärme beim Erzeugen einer Bewegung spielt, sei es bei den zyklischen Bewegungen der Kolben in Motoren oder auch bei den Wassertropfen, die an einem heißen Tag an einem Glas mit kalter Limonade herunterlaufen.

Fahrradreifen müssen auf einen deutlich höheren Druck aufgepumpt werden als PKW-Reifen. (© Ruth, 2006/Pitopia.)

? Warum ist beim Aufpumpen eines Fahrradreifens Arbeit aufzuwenden? (Siehe Beispiel 15.12.)

Appendices

Im Kontext: Respirometrie: Atmung und Wärmeumsatz

Mithilfe der Kalorimetrie, die in diesem Kapitel beschrieben wurde, kann auch der Energieumsatz von Organismen untersucht werden. Wilber O. Atwater, der erste Direktor der Experimentalinstitute des US-Landwirtschaftsministeriums,${}^{1}$ initiierte das überaus ehrgeizige Unterfangen, den mittleren Energieumsatz der Bürger zu ermitteln. Dazu mussten Nahrungsmittel und Wasser, die sie zu sich nahmen, genauestens analysiert und ihre Ausscheidungen zur Analyse verbrannt werden. Zudem waren Temperatur, Luftzusammensetzung und Feuchtigkeit in der kleinen Kammer zu erfassen, in der die jeweilige Versuchsperson während der Experimente zu leben hatte.${}^{2}$ Die Kammer war thermisch isoliert und innen mit Kupfer ausgekleidet, das von kupfernen Wasserröhren durchzogen war. Diese dienten zum exakten Erfassen der abgegebenen Wärme und enthielten kleine Thermometer.${}^{3}$ Zudem waren feine Heizdrähte eingebaut, mit denen ggf. die Temperatur geregelt werden konnte. Jegliche Änderung der Lufttemperatur in der Kammer konnte nur von der darin befindlichen Person verursacht worden sein und erlaubte Rückschlüsse auf deren Energieabgabe. Zur Messung der Lufttemperatur dienten empfindliche Thermometer, die in der Kammer aufgehängt waren.

Pro Liter eingeatmeten Sauerstoffs werden im menschlichen Organimus etwa 21 J Energie umgesetzt. Hier wird der Sauerstoffverbrauch eines Probanden auf dem Laufband gemessen. (© Philippe Psaila/Photo Researchers, Inc.)

Dieses Verfahren lieferte gute Ergebnisse für den Energieumsatz der Personen in Ruhe wie auch in Aktion, war aber teuer und schwierig zu handhaben. Daher ging man zu einer sozusagen indirekten Kalorimetrie über, indem man die Atemluft untersuchte; man spricht hierbei von der Respirometrie. Weitere Untersuchungen ergaben, dass über 95 % des menschlichen Energieumsatzes${}^{4}$ zuverlässig zu ermitteln sind, wenn die Mengen des eingeatmeten Sauerstoffs und des ausgeatmeten Kohlendioxids gemessen werden.${}^{5}$ Inzwischen wird davon ausgegangen, dass einem Liter eingeatmeten Sauerstoffs ein Energieumsatz von ungefähr 5 kcal bzw. 21 J entspricht.${}^{6}$ Je nach der verwendeten Messvorrichtung kann das Sauerstoffvolumen aus dem Partialdruck des Sauerstoffs in der eingeatmeten Luft berechnet oder direkt beim Einatmen ermittelt werden.

Die Respirometrie ist äußerst nützlich, da sie die schnellste Methode darstellt, den Energieumsatz von Organismen zu bestimmen. Mit entsprechenden Modifikationen kann sie auch bei Großvieh${}^{7}$, Geflügel${}^{8}$, exotischen Tieren${}^{9}$ und sogar bei Klärschlamm${}^{10}$ angewandt werden. In letzter Zeit zog man die Respirometrie auch heran, wenn zu ermitteln war, ob Kompost reif genug ist, um dem Boden zugeführt zu werden. Bei hoher Geschwindigkeit des Gasaustauschs ist die Aktivität der Bakterien noch hoch, und der Kompost ist noch nicht reif genug.${}^{11}$

Im medizinischen Bereich unterstützt die Respirometrie eine genaue Anpassung der Ernährung, insbesondere bei schwer verletzten oder schwer kranken Patienten.${}^{12{,}13}$ Tragbare Respirometer erlauben eine schnelle und trotzdem ausreichend genaue Messung des Energiebedarfs, sei es bei Sportlern, beispielsweise im Fitnesscenter, oder bei Diätpatienten.${}^{14}$ Zudem wird mit solchen Messungen die Gewichtskontrolle unterstützt.

Schließlich ist die Respirometrie auch hilfreich, wenn die öffentliche Gesundheit zu bewerten ist oder Ernährungsstandards zu etablieren sind. Bei einer Studie wurde verglichen, wie sich der Energiebedarf von kaum aktiven bzw. von aktiven Erwachsenen zu verschiedenen Ernährungsstandards verhält. Dabei zeigte sich, dass der eine Standard einer höheren Energieaufnahme entsprach, als die Erwachsenen tatsächlich benötigten.${}^{15}$ Indem die indirekte Kalorimetrie immer preiswerter wird, erleichtert sie die Untersuchung des Energiebedarfs der Bevölkerung in den unterschiedlichsten Ländern der Erde.

• 1. Swan, P., „100 Years Ago“, Nutrition Notes of the American Society for Nutrition Sciences, Juni 2004, 40, Nr. 2, S. 4–5. http://www.nutrition.org/media/publications/nutrition-notes/nnjun04a.pdf (Stand: März 2009).

• 2. Atwater, W. O., A Respiration Calorimeter with Appliances for the Direct Determination of Oxygen. Washington, D.C.: Carnegie Institution, 1905.

• 3. Morrison, P. und Morrison, P., „Laws of Calorie Counting“, Scientific American, Aug. 2000, S. 93+.

• 4. Ferrannini, E., „The Theoretical Bases of Indirect Calorimetry: A Review“, Metabolism, März 1988, 37, Nr. 3, S. 287–301.

• 5. Mansell, P. I. und MacDonald, I. A., „Reappraisal of the Weir Equation for Calculation of Metabolic Rate“, AIP – Regulatory, Integrative and Comparative Physiology, Juni 1990, 258, Nr. 6, S. R1347–R1354.

• 6. Food and Nutrition Board, Dietary Reference Intakes for Energy, Carbohydrate, Fiber, Fat, Fatty Acids, Cholesterol, Protein, and Amino Acids. Washington, D.C.: National Academies Press, 2005, S. 884.

• 7. McLeod, K. et al., „Effects of Brown Midrib Corn Silage on the Energy Balance of Dairy Cattle“, Journal of Dairy Science, April 2000, 84, S. 885–895.

• 8. „Animal Calorimetry“, Biomeasurements and Experimental Techniques for Avian Species. http://web.uconn.edu/poultry/NE-127/NewFiles/Home2.html (Stand: März 2009).

• 9. Schalkwyk, S. J. et al., „Gas Exchange of the Ostrich Embryo During Peak Metabolism in Relation to Incubator Design“, South African Journal of Animal Science, 2002, 32, S. 122–129.

• 10. Rai, C. L. et al., „Influence of Ultrasonic Disintegration on Sludge Growth Reduction and Its Estimation by Respirometry“, Environmental Science and Technology, Nov. 2004, 38, Nr. 21, S. 5779–5785.

• 11. Seekings, B., „Field Test for Compost Maturity“, Biocycle, Juli 1996, 37, Nr. 8, S. 72–75.

• 12. American Association for Respiratory Care, „Metabolic Measurement Using Indirect Calorimetry During Mechanical Ventilation – 2004 Revision & Update“, Respiratory Care, Sept. 2004, 49, Nr. 9, 1073–1079. http://www.guideline.gov/summary/summary.aspx?ss=15&doc_id=6515 (Stand: März 2009).

• 13. Steward, D. und Pridham, K., „Stability of Respiratory Quotient and Growth Outcomes of Very Low Birth Weight Infants“, Biological Research for Nursing, Jan. 2001, 2, Nr. 3, S. 198–205.

• 14. St-Onge, M. et al., „A New Hand-Held Indirect Calorimeter to Measure Postprandial Energy Expenditure“, Obesity Research, April 2004, 12, Nr. 4, S. 704–709.

• 15. Alfonzo-González, G. et al., „Estimation of Daily Energy Needs with the FAO/WHO/UNU 1985 Procedures in Adults: Comparison to Whole-Body Indirect Calorimetry Measurements“, European Journal of Clinical Nutrition, Aug. 2004, 58, Nr. 8, S.  1125–1131.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 15.1 • 

Gegenstand A hat eine doppelt so große Masse wie Gegenstand B. Wenn beide Gegenstände gleich große Wärmemengen aufnehmen, ergibt sich bei beiden die gleiche Temperaturänderung. Welche Beziehung besteht zwischen ihren spezifischen Wärmekapazitäten? a) $c_{\mathrm{A}}=2\,c_{\mathrm{B}}$, b) $2\,c_{\mathrm{A}}=c_{\mathrm{B}}$, c) $c_{\mathrm{A}}=c_{\mathrm{B}}$, d) keine dieser Beziehungen.

1.1.2 15.2 • 

Beim Joule’schen Experiment, das die Äquivalenz von Wärme und Arbeit zeigte, wird mechanische Energie in innere Energie umgesetzt. Nennen Sie einige Beispiele, bei denen die innere Energie eines Systems in mechanische Energie umgesetzt wird.

1.1.3 15.3 • 

Kann eine bestimmte Gasmenge Wärme aufnehmen, ohne dass sich ihre innere Energie ändert? Wenn ja, nennen Sie ein Beispiel. Wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort.

1.1.4 15.4 • 

Welche der Aussagen sind richtig, welche sind falsch: In der Gleichung $Q=\Updelta U-W$ (einer Formulierung des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik) stehen die Größen Q und W für a) die dem System zugeführte Wärme und die von ihm verrichtete Arbeit, b) die dem System zugeführte Wärme und die an ihm verrichtete Arbeit, c) die vom System abgegebene Wärme und die von ihm verrichtete Arbeit, d) die vom System abgegebene Wärme und die an ihm verrichtete Arbeit.

1.1.5 15.5 • 

Ein bestimmtes Gas besteht aus Ionen, die einander abstoßen. Das Gas erfährt eine freie Expansion, während der es weder Wärme aufnimmt noch Arbeit verrichtet. Wie ändert sich die Temperatur? Begründen Sie Ihre Antwort.

1.1.6 15.6 • 

Welche dieser Aussagen trifft zu: Ein Gas ändert seinen Zustand reversibel von A nach C im p-V-Diagramm von Abbildung 15.19. Die vom Gas verrichtete Arbeit ist a) am größten für den Weg A$\rightarrow$B$\rightarrow$C, b) am kleinsten für den Weg A$\rightarrow$C, c) am größten für den Weg A$\rightarrow$D$\rightarrow$C, d) für alle drei Wege gleich groß.

Abb. 15.19

Zu Aufgabe 15.6.

1.1.7 15.7 • 

Das Volumen einer bestimmten Menge eines Gases bleibt konstant, während sich ihre Temperatur und ihr Druck ändern. Welche der folgenden Aussagen trifft bzw. treffen dafür zu? a) Die innere Energie des Gases bleibt unverändert. b) Das Gas verrichtet keine Arbeit. c) Das Gas nimmt keine Wärme auf. d) Die Änderung der inneren Energie des Gases entspricht der von ihm netto aufgenommenen Wärmemenge. e) Es trifft keine dieser Aussagen zu.

1.1.8 15.8 •• 

Welches Metall hat nach Ihrer Einschätzung die höhere Wärmekapazität pro Masseneinheit: Blei oder Kupfer? Warum? (Schlagen Sie vor der Beantwortung der Frage nicht die Wärmekapazitäten nach.)

1.1.9 15.9 •• 

Ein ideales Gas durchläuft einen Prozess, bei dem $p\,\sqrt{V}=\text{konstant}$ ist und das Gasvolumen abnimmt. Wie ändert sich dabei die Temperatur? Erklären Sie die Zusammenhänge.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 15.10 • 

An einer Küste soll ein Kraftwerk errichtet werden, und zur Kühlung soll Meerwasser verwendet werden. Das Kraftwerk soll eine elektrische Leistung von 1,00 GW abgeben und einen Wirkungsgrad von einem Drittel haben (was für moderne Kraftwerke ein guter Wert ist). Die Wärmeabgabe an das Kühlwasser beträgt daher 2,00 GW. Nach den Vorschriften darf dessen Temperaturanstieg aber nicht höher als 10 ${}^{\circ}$C sein. Schätzen Sie ab, wie hoch der Kühlwasserdurchsatz (in kg/s) sein muss.

1.2.2 15.11 •• 

Ein gewöhnlicher Mikrowellenherd nimmt eine elektrische Leistung von rund 1200 W auf. Schätzen Sie ab, wie lange es dauert, um eine Tasse Wasser zum Sieden zu bringen, wenn 50 % dieser Leistung zum Erwärmen des Wassers genutzt werden. Entspricht der damit berechnete Wert Ihrer Erfahrung?

1.3 Wärmekapazität, spezifische Wärme, latente Wärme

1.3.1 15.12 • 

Ein mit Sonnenenergie beheiztes Haus besteht u. a. aus $1{,}00\cdot 10^{5}\text{\,kg}$ Beton (spezifische Wärmekapazität $1\text{,}00\text{\,kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$). Wie viel Wärme gibt diese Betonmenge ab, wenn sie von 25,0 ${}^{\circ}$C auf 20,0 ${}^{\circ}$C abkühlt?

1.3.2 15.13 • 

Wie viel Wärme muss zugeführt werden, um 60,0 g Eis mit $-10{,}0{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$ zu 60,0 g Wasser mit 40,0 ${}^{\circ}$C umzuwandeln?

1.3.3 15.14 •• 

Wie viel Wärme muss abgeführt werden, wenn 0,100 kg Wasserdampf von 150 ${}^{\circ}$C abgekühlt und zu 0,100 kg Eis mit 0,00 ${}^{\circ}$C umgewandelt werden?

1.4 Kalorimetrie

1.4.1 15.15 •• 

Nehmen Sie an, bei seinen verschiedenen Teilnahmen an der Tour de France erbrachte der Radrennfahrer Lance Armstrong jeweils 20 Tage lang 5,0 Stunden täglich eine mittlere Leistung von 400 W. Welche Wassermenge mit einer Anfangstemperatur von 24 ${}^{\circ}$C wäre bis zum Siedepunkt zu erwärmen, wenn die von Armstrong während einer Tour insgesamt erbrachte Energie nutzbar gemacht werden könnte?

1.4.2 15.16 •• 

Ein Stück Eis der Masse 200 g mit der Temperatur 0,0 ${}^{\circ}$C wird in 500 g Wasser mit 20 ${}^{\circ}$C eingebracht. Das System ist ein von der Umgebung thermisch isolierter Behälter mit vernachlässigbarer Wärmekapazität. a) Wie hoch ist am Ende die Gleichgewichtstemperatur des Systems? b) Wie viel Eis ist dann geschmolzen?

1.4.3 15.17 •• 

Ein gut isolierter Behälter mit vernachlässigbarer Wärmekapazität enthält 150 g Eis mit einer Temperatur von 0,0 ${}^{\circ}$C. a) Welche Gleichgewichtstemperatur erreicht das System, nachdem 20 g Dampf mit 100 ${}^{\circ}$C hineingespritzt wurden? b) Ist noch Eis vorhanden, wenn das System wieder im Gleichgewicht ist?

1.4.4 15.18 •• 

Ein Kalorimeter mit vernachlässigbarer Masse enthält 1,00 kg Wasser mit 303 K. Es werden 50,0 g Eis mit 273 K hineingegeben. a) Welche Endtemperatur stellt sich nach einiger Zeit ein? b) Wie hoch ist die Endtemperatur bei einer Eismenge von 500 g?

1.5 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

1.5.1 15.19 • 

Eine bestimmte Menge eines zweiatomigen Gases verrichtet 300 J Arbeit und nimmt 2,50 kJ Wärme auf. Wie hoch ist die Änderung seiner inneren Energie?

1.5.2 15.20 • 

Eine bestimmte Menge eines Gases nimmt 1,67 MJ Wärme auf, während es 800 J Arbeit verrichtet. Wie hoch ist die Änderung seiner inneren Energie?

1.5.3 15.21 •• 

Ein Bleigeschoss mit einer Anfangstemperatur von 30 ${}^{\circ}$C kam gerade zum Schmelzen, als es inelastisch auf eine Platte aufschlug. Nehmen Sie an, die gesamte kinetische Energie des Projektils ging beim Aufprall in seine innere Energie über und bewirkte dadurch die Temperaturerhöhung, die zum Schmelzen führte. Wie hoch war die Geschwindigkeit des Projektils beim Aufprall?

1.6 Arbeit und das p-V-Diagramm eines Gases

1.6.1 15.22 • 

1,00 mol eines idealen Gases hat folgenden Anfangszustand: $p_{1}=\text{3{,}00\,bar}$, $V_{1}=\text{1{,}00\,l}$ und $U_{1}=\text{456\,J}$. Der Endzustand ist $p_{2}=\text{2{,}00\,bar}$, $V_{2}=\text{3{,}00\,l}$ und $U_{2}=\text{912\,J}$. Das Gas expandiert bei konstantem Druck bis auf das angegebene Endvolumen. Dann wird es bei konstantem Volumen abgekühlt, bis es den angegebenen Enddruck erreicht hat. a) Erstellen Sie das p-V-Diagramm für diesen Vorgang und berechnen Sie die Arbeit, die das Gas verrichtet. b) Welche Wärmemenge wird während des Prozesses zugeführt?

1.6.2 15.23 •• 

1,00 mol eines idealen Gases hat anfangs einen Druck von 1,00 bar und ein Volumen von 25,0 l. Das Gas wird langsam erwärmt, wofür sich im p-V-Diagramm eine gerade Linie zum Endzustand mit dem Druck 3,00 bar und dem Volumen 75,0 l ergibt. Wie viel Arbeit verrichtet das Gas, und wie viel Wärme nimmt es auf?

1.7 Wärmekapazitäten von Gasen und der Gleichverteilungssatz

1.7.1 15.24 •• 

Eine bestimmte Menge eines zweiatomigen Gases befindet sich beim Druck p ₀ in einem verschlossenen Behälter mit dem konstanten Volumen V. Welche Wärmemenge Q muss dem Gas zugeführt werden, um den Druck zu verdreifachen?

1.7.2 15.25 •• 

Eine bestimmte Menge Kohlendioxid (CO${}_{2}$) sublimiert bei einem Druck von 1,00 bar und einer Temperatur von $-78{,}5{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$. Sie geht also direkt vom festen in den gasförmigen Zustand über, ohne die flüssige Phase zu durchlaufen. Wie hoch ist die Änderung der molaren Wärmekapazität (bei konstantem Druck) bei der Sublimation? Ist die Änderung positiv oder negativ? Nehmen Sie an, dass die Gasmoleküle rotieren, nicht aber schwingen können. Die Struktur des CO${}_{2}$-Moleküls ist in Abbildung 15.20 dargestellt.

Abb. 15.20

Zu Aufgabe 15.25.

1.8 Wärmekapazitäten von Festkörpern und die Dulong-Petit’sche Regel

1.8.1 15.26 • 

Die Dulong-Petit’sche Regel diente ursprünglich dazu, die molare Masse einer metallischen Substanzprobe aus ihrer Wärmekapazität zu ermitteln. Die spezifische Wärmekapazität eines bestimmten Festkörpers wurde zu $0{,}447\text{\,kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ gemessen. a) Wie hoch ist seine molare Masse? b) Um welches Element kann es sich handeln?

1.9 Reversible adiabatische Expansion eines Gases

1.9.1 15.27 •• 

0,500 mol eines einatomigen idealen Gases mit einem Druck von 400 kPa und einer Temperatur von 300 K expandieren reversibel, bis der Druck auf 160 kPa abgesunken ist. Ermitteln Sie die Endtemperatur, das Endvolumen, die netto zugeführte Arbeit und die netto aufgenommene Wärmemenge, wenn die Expansion a) isotherm bzw. wenn sie b) adiabatisch abläuft.

1.9.2 15.28 •• 

Wiederholen Sie die vorangegangene Aufgabe für ein zweiatomiges Gas.

1.10 Zyklische Prozesse

1.10.1 15.29 •• 

1,00 mol eines zweiatomigen idealen Gases kann so expandieren, dass im p-V-Diagramm (Abbildung 15.21) die gerade Linie vom Zustand 1 zum Zustand 2 durchlaufen wird. Dann wird das Gas isotherm vom Zustand 2 zum Zustand 1 komprimiert, wobei die gekrümmte Linie durchlaufen wird. Berechnen Sie die in diesem Zyklus insgesamt umgesetzte Arbeit.

Abb. 15.21

Zu Aufgabe 15.29.

1.10.2 15.30 ••• 

Am Punkt D in Abbildung 15.22 haben 2,00 mol eines einatomigen idealen Gases einen Druck von 2,00 bar und eine Temperatur von 360 K. Am Punkt B im p-V-Diagramm ist das Volumen des Gases dreimal so groß wie am Punkt D, und sein Druck ist zweimal so groß wie am Punkt C. Die Wege AB und CD entsprechen isothermen Prozessen. Das Gas durchläuft einen vollständigen Zyklus entlang des Wegs DABCD. Ermitteln Sie die dem Gas netto zugeführte Arbeit und die ihm in jedem einzelnen Schritt netto zugeführte Wärmemenge.

Abb. 15.22

Zu Aufgabe 15.30.

1.11 Allgemeine Aufgaben

1.11.1 15.31 •• 

Ein thermisch isoliertes System besteht aus 1,00 mol eines zweiatomigen idealen Gases mit einer Temperatur von 100 K sowie 2,00 mol eines Festkörpers mit einer Temperatur von 200 K, die durch eine feste, isolierende Wand voneinander getrennt sind. Ermitteln Sie die Gleichgewichtstemperatur, die das System erreicht, nachdem die Wand entfernt wurde. Nehmen Sie an, dass die Zustandsgleichung für ideale Gase bzw. die Dulong-Petit’sche Regel gelten.

1.11.2 15.32 •• 

Wenn eine bestimmte Menge eines idealen Gases bei konstantem Volumen eine Temperaturänderung erfährt, so ändert sich ihre innere Energie um $\Updelta U=\tilde{n}\,C_{V}\,{\,\mathrm{d}}T$. a) Erklären Sie, warum diese Gleichung für ein ideales Gas auch bei einer Veränderung des Volumens korrekte Ergebnisse liefert. b) Zeigen Sie mithilfe dieser Beziehung und des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, dass für ein ideales Gas gilt: $C_{p}=C_{V}+R$.

1.11.3 15.33 •• 

Gemäß dem Einstein’schen Modell für einen kristallinen Festkörper gilt für dessen molare innere Energie

$$U_{\mathrm{Mol}}=\frac{3\,n_{\mathrm{A}}\,k_{\mathrm{B}}\,{\varTheta}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}-1}\,.$$

Bestimmen Sie mithilfe dieser Gleichung die molare innere Energie von Diamant (${\varTheta}_{\mathrm{E}}=1060\text{\,K}$) bei 300 K und bei 600 K sowie daraus die Zunahme der inneren Energie, wenn 1,00 mol Diamant von 300 K auf 600 K erwärmt wird.

1.11.4 15.34 ••• 

Gemäß dem Einstein’schen Modell für einen kristallinen Festkörper gilt für dessen molare innere Energie

$$U_{\mathrm{Mol}}=\frac{3\,n_{\mathrm{A}}\,k_{\mathrm{B}}\,{\varTheta}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}-1}\,.$$

Darin ist ${\varTheta}_{\mathrm{E}}$ die Einstein-Temperatur und T die in Kelvin einzusetzende Temperatur des Festkörpers. Zeigen Sie mithilfe dieser Beziehung, dass für die molare Wärmekapazität des kristallinen Festkörpers bei konstantem Volumen gilt:

$$C_{V}=3\,R\left(\frac{{\varTheta}_{\mathrm{E}}}{T}\right)^{\!2}\frac{\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}}{\left(\mathrm{e}^{{\varTheta}_{\mathrm{E}}/T}-1\right)^{2}}\,.$$