Die kinetische Gastheorie

Zusammenfassung

In Kapitel 10 hatten wir die Luft als Fluid modelliert. Dabei sind wir davon ausgegangen, dass man ihr Verhalten mit Ansätzen beschreiben kann, die in ähnlicher Form auch für Flüssigkeiten gelten. Doch diese Näherung ist nicht immer gültig. In diesem Kapitel werden wir Luft und andere Gase als eine große Ansammlung von Atomen und Molekülen betrachten und feststellen, dass die makroskopische Beschreibung, die wir in Kapitel 10 und auch in Kapitel 13 gefunden hatten, sich durch die Vorgänge auf molekularer Ebene herleiten lässt.

Gase bestehen aus vielen kleinen Molekülen, die sich mit Geschwindigkeiten von mehreren Hundert Metern pro Sekunde bewegen und auf ihrem Weg mit anderen Teilchen zusammenstoßen.

? Wie lange dauert es im Mittel, bis so ein Teilchen mit einem anderen zusammenstößt? (Siehe Beispiel 14.9)

Appendices

Im Kontext: Die Brown’sche Bewegung

Die Forschungen von Robert Brown (1773–1858), einem schottischen Botaniker, zeichneten sich vor allem dadurch aus, dass er bereits um 1800 damit begann, ein Mikroskop zur genaueren Beobachtung seiner Proben einzusetzen. Während seines dreieinhalbjährigen Australienaufenthalts konnte er bereits über 2000 bis dahin unbekannte Spezies sammeln. Nach seiner Rückkehr nach England verbrachte er ab 1805 seine Zeit damit, die in Australien gesammelten Proben zu katalogisieren. Mehr als 1200 unbekannte Pflanzenarten allein aus Westaustralien beschrieb er in seinen zahlreichen Veröffentlichungen und benannte Gattungen wie Livistonia, Triodia, Eriachne, Caladenia, Isolepis, Prasophyllum, Pterostylis, Patersonia und viele weitere.${}^{1}$

1827 untersuchte er die Samenanlagen einer Clarkia pulchella, deren Pollen er in Wasser gelöst unter einem seiner Mikroskope betrachtete. Dabei sah er eine Zitterbewegung der kleinen Organellen, die sich aus den Pollen hinausbewegten. Zunächst schrieb er diese Bewegung einer Lebenskraft des Pollenstaubs zu, da man zu der Zeit der Auffassung war, alles Organische müsse eine solche Kraft zur Selbsterhaltung besitzen. Als er sein Experiment jedoch mit unbelebten Staubkörnern wiederholte, konnte er dieselbe Bewegung beobachten. Das gleiche Verhalten hatte bereits 1785 der Niederländer Jan Ingenhousz (1730–1799), ebenfalls Botaniker, für Holzkohlestaubpartikel auf Alkohol beschrieben. Da offensichtlich auch unbelebte Materie sich nach diesem Muster bewegte, war die These, es müsse sich um eine Lebenskraft handeln, widerlegt.

Clarkia-pulchella-Pollen mit heraustretenden Organellen, deren Molekularbewegung Robert Brown beobachtete. (© Hamilton College’s Brownian Motion Webseite, http://physerver.hamilton.edu/Research/Brownian/index.html ).

Erst Christian Wiener (1826–1896) konnte 1863 experimentell nachweisen, dass das Zittern eindeutig eine Folge der Bewegung der Flüssigkeitsmoleküle ist, zwischen denen die Pollen eingelegt waren.${}^{2}$ Er stellte außerdem fest, dass die Zitterbewegung mit sinkender Teilchengröße zunimmt. Es sollten jedoch noch weitere 17 Jahre vergehen, bis Thorvald N. Thiele (1838–1910) die erste mathematische Beschreibung der Brown’schen Bewegung lieferte.${}^{3}$ Anfang des 20. Jahrhunderts komplettierten Albert Einstein (1879–1955) und Marian Smoluchowski (1872–1917) unabhängig voneinander die physikalische Theorie und etablierten das stochastische Modell in der Physik.${}^{4{,}5}$

1991 kam die Frage auf, ob Robert Brown technisch überhaupt in der Lage gewesen war, die Bewegung der Partikel, die nur wenige Mikrometer groß waren, zu beobachten.${}^{6}$ Mit einer ausführlichen Literaturrecherche und einer Rekonstruktion seines Experiments wurde jedoch schon im darauf folgenden Jahr klar gezeigt, dass Brown die Zitterbewegung tatsächlich sehen konnte.${}^{7}$

• 1. Keighery, G. und Gibson, N., „The influence of Robert Brown on Western Australian botany“, Australian Garden History, 14(3), 2002, S. 5–8.

• 2. Wiener, C, „Erklärung des atomistischen Wesens des tropfbar flüssigen Körperzustandes und Bestätigung desselben durch die sogenannten Molekularbewegungen“, Poggendorffs Annalen, Bd. 118, 1863, S. 79–94.

• 3. Thiele, T. N., „Über die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate in solchen Fällen, wo gewisse Sorten von zufälligen Fehlerquellen den Fehlern einen systematischen Charakter verleihen“.

• 4. Einstein, A., „Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen“, Annalen der Physik, 322(8), 1905, S. 549–560.

• 5. Smoluchowski, M., „Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen“, Annalen der Physik, 21(14), 1906, S. 756–780.

• 6. Deutsch, D. H., „Did Robert Brown Observe Brownian Motion: Probably Not“, Scientific American, 265(20), 1991.

• 7. Ford, B. J., „Brownian Movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations“, The Microscope, 40(4), 1992, S. 235–241.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 14.1 • 

Um welchen Faktor muss die absolute Temperatur eines Gases erhöht werden, damit sich die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit seiner Teilchen verdoppelt?

1.1.2 14.2 • 

Zwei unterschiedliche Gase haben die gleiche Temperatur. Was können Sie über die quadratisch gemittelten Geschwindigkeiten der Gasteilchen sagen? Was können Sie über die mittleren kinetischen Energien der Teilchen sagen?

1.1.3 14.3 • 

Wovon hängt die mittlere kinetische Energie der Teilchen des idealen Gases ab: a) von der Anzahl der Mole des Gases und von der Temperatur, b) vom Druck und von der Temperatur, c) allein vom Druck, d) allein von der Temperatur?

1.1.4 14.4 •• 

Zwei identische Behälter enthalten unterschiedliche ideale Gase bei gleichem Druck und gleicher Temperatur. Welche der folgenden Aussagen trifft bzw. treffen dann zu? a) Die Anzahlen der Gasteilchen in beiden Behältern sind gleich. b) Die Gesamtmassen an Gas in beiden Behältern sind gleich. c) Die mittleren Geschwindigkeiten der Gasteilchen in beiden Behältern sind gleich. d) Keine dieser Aussagen trifft zu.

1.1.5 14.5 •• 

Ein Gefäß enthält eine Mischung aus Helium (He) und Methan (CH${}_{4}$). Wie groß ist das Verhältnis der quadratisch gemittelten Teilchengeschwindigkeit des Heliums zu der des Methans: a) 1, b) 2, c) 4, d) 16?

1.1.6 14.6 •• 

Nehmen Sie an, Sie erhöhen die Temperatur einer bestimmten Gasmenge, wobei Sie deren Volumen konstant halten. Erklären Sie im Hinblick auf die Teilchenbewegungen, warum dabei der Druck auf die Wände des Behälters ansteigt.

1.1.7 14.7 •• 

Dem Phasendiagramm in Abbildung 14.11 kann man entnehmen, wie sich die Schmelz- und die Siedetemperatur von Wasser mit dem äußeren Druck, also auch mit der Höhe über dem Meeresspiegel ändern. a) Erläutern Sie, wie diese Informationen bestätigt werden können. b) Was bedeuten die Ergebnisse für das Kochen von Lebensmitteln in großer Höhe?

Abb. 14.11

Zu Aufgabe 14.7.

1.1.8 14.8 •• 

Erklären Sie, warum das auf dem Mars gefundene Kohlendioxid sich in dessen Polargebieten in festem Zustand befindet, obwohl der Atmosphärendruck an der Marsoberfläche nur etwa 0,1 % des Atmosphärendrucks auf der Erde beträgt.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

1.2.1 14.9 •• 

Die Fluchtgeschwindigkeit auf dem Mars beträgt 5,0 km/s, und die Temperatur an seiner Oberfläche liegt durchschnittlich bei 0 ${}^{\circ}$C. Berechnen Sie die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit von a) H${}_{2}$, b) O${}_{2}$ und c) CO${}_{2}$ bei dieser Temperatur. d) Ist es nach dem in diesem Kapitel erarbeiteten Kriterium wahrscheinlich, dass die Atmosphäre des Mars H${}_{2}$, O${}_{2}$ bzw. CO${}_{2}$ enthält?

1.3 Die Zustandsgleichung für das ideale Gas

1.3.1 14.10 • 

In einem Zylinder, der mit einem beweglichen Kolben verschlossen ist (Abbildung 14.12), befindet sich eine bestimmte Menge eines idealen Gases bei gleich bleibendem Druck. Um welchen Faktor ändert sich ihr Volumen, wenn die Temperatur von 50 ${}^{\circ}$C auf 100 ${}^{\circ}$C erhöht wird?

Abb. 14.12

Zu Aufgabe 14.10.

1.3.2 14.11 • 

Ein 10,0-l-Behälter enthält Gas bei einer Temperatur von 0,00 ${}^{\circ}$C und einem Druck von 4,00 bar. Wie viele Mole Gas befinden sich im Behälter? Wie viele Gasteilchen enthält er?

1.3.3 14.12 •• 

Eine Autofahrerin pumpt die Reifen ihres Autos auf einen Druck von 180 kPa auf, während die Temperatur bei $-8{,}0\,{{}^{\circ}}$C liegt. Als sie ihr Fahrtziel erreicht hat, ist der Reifendruck auf 245 kPa angestiegen. Wie hoch ist dann die Temperatur der Reifen, wenn a) angenommen wird, dass sie sich nicht ausdehnen; wenn b) angenommen wird, dass sie sich so ausdehnen, dass das Volumen der Luft darin um 7 % zunimmt?

1.3.4 14.13 •• 

Ein Zimmer hat eine Größe von 6,0 m mal 5,0 m mal 3,0 m. a) Wie viele Mole Luft befinden sich im Zimmer, wenn der Luftdruck bei 1,0 bar liegt und eine Temperatur von 300 K herrscht? b) Wie viele Mole Luft entweichen aus dem Zimmer, wenn die Temperatur um 5,0 K ansteigt, während der Luftdruck gleich bleibt?

1.3.5 14.14 •• 

10,0 g flüssiges Helium mit einer Anfangstemperatur von 4,20 K verdampfen in einen leeren Ballon, der auf einem Druck von 1,00 bar gehalten wird. Wie groß ist das Volumen des Ballons a) bei 25,0 K bzw. b) bei 293 K?

1.3.6 14.15 •• 

Ein Taucher befindet sich in einem See 40 m tief, wo die Temperatur bei $5{,}0\,{{}^{\circ}}$C liegt. Aus seinem Atemgerät entweicht eine Luftblase mit einem Volumen von 15 cm${}^{3}$. Die Blase steigt an die Oberfläche, wo eine Temperatur von $25\,{{}^{\circ}}$C herrscht. Nehmen Sie an, dass sich die Luft in der Blase stets in thermischem Gleichgewicht mit dem umgebenden Wasser befindet und dass zwischen Luft und Wasser kein Austausch von Molekülen stattfindet. Wie groß ist das Volumen der Luftblase unmittelbar vor dem Erreichen der Wasseroberfläche? (Hinweis: Beachten Sie, dass sich nach oben hin auch der Druck ändert.)

1.3.7 14.16 •• 

Ein unten offener Heißluftballon hat ein Volumen von 446 m${}^{3}$, und die Luft in ihm hat eine mittlere Temperatur von 100 ${}^{\circ}$C. Die Außenluft hat eine Temperatur von 20,0 ${}^{\circ}$C und einen Druck von 1,00 bar. Welche Nutzlast (einschließlich der Ballonhülle) kann der Ballon tragen? Setzen Sie für die Molmasse der Luft 29,0 g/mol an und vernachlässigen Sie das Volumen der Ballonhülle und der Nutzlast.

1.4 Die molekulare Geschwindigkeit und der Gleichverteilungssatz

1.4.1 14.17 • 

Berechnen Sie die kinetische Energie der Moleküle von 1,0 l Sauerstoffgas bei einer Temperatur von 0,0 ${}^{\circ}$C und einem Druck von 1,0 bar.

1.4.2 14.18 • 

Berechnen Sie die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit und die mittlere kinetische Energie von Wasserstoffatomen bei einer Temperatur von $1{,}0\cdot 10^{7}$ K. (Bei dieser Temperatur, die in der Größenordnung der Temperatur im Inneren von Sternen liegt, sind die Wasserstoffatome ionisiert, bestehen also nur aus einem einzelnen Proton.)

1.4.3 14.19 •• 

Zeigen Sie, dass $f(v)$ gemäß Gleichung 14.20 maximal ist, wenn $v=\sqrt{2\,k_{\mathrm{B}}\,T/m}$ ist. (Hinweis: Setzen Sie ${\,\mathrm{d}}f/{\,\mathrm{d}}v=0$ und lösen Sie nach v auf.)

1.5 Die mittlere freie Weglänge

1.5.1 14.20 • 

Zeigen Sie, dass die mittlere freie Weglänge eines Teilchens in einem idealen Gas bei der Temperatur T und dem Druck p gegeben ist durch: $\lambda=k_{\rm B}\,T/(\sqrt{2}\,p\,\uppi\,d^{2})$.

1.5.2 14.21 •• 

Bei einer Temperatur von 300 K und einem Druck von 1,00 bar beträgt die mittlere freie Weglänge von O${}_{2}$-Molekülen $\lambda=7{,}10\cdot 10^{-8}\,\text{m}$. Schätzen Sie mithilfe dieser Daten die Größe eines O${}_{2}$-Moleküls ab.

1.6 Die Van-der-Waals-Gleichung für reale Gase

1.6.1 14.22 • 

Berechnen Sie a) das Volumen von 1,00 mol eines idealen Gases bei einer Temperatur von 100 ${}^{\circ}$C und einem Druck von 1,00 bar sowie b) das Volumen von 1,00 mol Wasserdampf bei denselben Bedingungen. Verwenden Sie hierzu die Van-der-Waals-Koeffizienten $a=5{,}50\text{\,l${}^{2}$}\cdot\text{bar}\cdot\text{mol}^{-2}$ und $b=30{,}0\,\text{cm}^{3}\cdot\text{mol}^{-1}$.

1.6.2 14.23 •• 

Für Helium betragen die Van-der-Waals-Koeffizienten $a=0{,}0350\,\text{l}^{2}\cdot\text{bar}\cdot\text{mol}^{-2}$ und $b=0{,}0238\,\text{l}\cdot\text{mol}^{-1}$. Berechnen Sie damit das Volumen in Kubikzentimeter, das ein Heliumatom besetzt, und schätzen Sie dessen Radius ab.

1.7 Allgemeine Aufgaben

1.7.1 14.24 • 

a) Verwenden Sie die Definition des Volumenausdehnungskoeffizienten β (bei konstantem Druck) und zeigen Sie, dass für das ideale Gas gilt: $\beta=1/T$. b) Für Stickstoffgas (N${}_{2}$) wurde bei 0 ${}^{\circ}$C experimentell der Wert $\beta=\text{0{,}003673\,K}^{-1}$ bestimmt. Vergleichen Sie diesen gemessenen Wert von β mit dem theoretischen Wert von $1/T$ für das ideale Gas und geben Sie die prozentuale Abweichung an.

1.7.2 14.25 •• 

a) Das Volumen, das einem Molekül in einem Gas zur Verfügung steht, ist der Kehrwert der Anzahldichte (d. h. der Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit). Berechnen Sie das mittlere Volumen pro Molekül in trockener Luft bei einem Druck von 1,0 bar. b) Schätzen Sie mithilfe der Quadratwurzel aus dem Ergebnis von Teilaufgabe a den mittleren Abstand d der Moleküle voneinander grob ab. c) Berechnen oder schätzen Sie den mittleren Durchmesser D der Luftmoleküle und vergleichen Sie ihn mit dem Wert, den Sie in Teilaufgabe b erhalten haben. d) Skizzieren Sie ein würfelförmiges Volumen, in dem sich Luft befindet und das eine Kantenlänge von $3\,d$ hat. Zeichnen Sie maßstabsgerecht die Moleküle so ein, wie sie Ihrer Meinung nach in einer typischen Momentaufnahme vorliegen. e) Erklären Sie anhand Ihrer Skizze, warum die mittlere freie Weglänge wesentlich größer ist als der mittlere Abstand der Moleküle voneinander.

1.7.3 14.26 •• 

Ein Zylinder mit konstantem Volumen enthält eine Mischung von Stickstoffgas (N${}_{2}$) und Wasserstoffgas (H${}_{2}$). Bei der Temperatur T ₁ seien sämtliche Stickstoffmoleküle dissoziiert, jedoch keines der Wasserstoffmoleküle. Der Druck sei dabei p ₁. Wenn die Temperatur auf $T_{2}=2\,T_{1}$ verdoppelt wird, dann verdreifacht sich der Druck, weil nun auch alle Wasserstoffmoleküle dissoziiert sind. In welchem Massenverhältnis liegen die beiden Gase im Zylinder vor?

1.7.4 14.27 •• 

Bei neueren Experimenten mit Atomfallen und Laserkühlung konnte man Gase mit sehr geringer Dichte realisieren, die Rubidium- und andere Atome enthalten, wobei die Temperatur im Bereich von Nanokelvin (nK, $10^{-9}$ K) lag. Die Atome werden dabei mithilfe von Magnetfeldern und Laserstrahlung in Ultrahochvakuumkammern eingefangen und gekühlt. Eine Methode zum Messen der Temperatur von derart eingefangenen Gasteilchen besteht darin, die Falle abzuschalten und die Zeitspanne zu messen, in der die Gasteilchen eine bestimmte Strecke weit fallen. Nehmen Sie an, ein Gas aus Rubidiumatomen hat eine Temperatur von 120 nK. Berechnen Sie, welche Zeit ein Atom mit der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit des Gases benötigt, um 10,0 cm weit zu fallen, wenn es sich a) anfangs direkt nach unten bewegt bzw. wenn es sich b) anfangs direkt nach oben bewegt. Nehmen Sie an, dass das Atom auf seiner Flugbahn mit keinem anderen Atom zusammenstößt.

1.7.5 14.28 ••• 

Ein Zylinder ist mit 0,10 mol eines idealen Gases bei Standardbedingungen gefüllt. Ein zunächst fixierter Kolben mit der Masse 1,4 kg (Abbildung 14.13) dichtet den Zylinder gasdicht ab. Die eingeschlossene Gassäule ist 2,4 m hoch. Kolben und Zylinder sind von Luft umgeben, ebenfalls bei Standardbedingungen. Nun wird der Kolben losgelassen und kann absinken, wobei er sich (nach wie vor gasdicht schließend) reibungsfrei bewegen kann. Nach einiger Zeit endet die Schwingungsbewegung des Kolbens; nun sind der Kolben und die umgebende Luft in thermischem Gleichgewicht miteinander. a) Berechnen Sie, wie hoch die Gassäule nun ist. b) Nehmen Sie an, der Kolben wird um eine geringe Strecke aus seiner Gleichgewichtsposition nach unten gedrückt und dann losgelassen. Nehmen Sie an, dass die Temperatur des Gases konstant bleibt, und berechnen Sie die Frequenz, mit der der Kolben schwingt.

Abb. 14.13

Zu Aufgabe 14.28.