Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Während bei den Eliminationsverfahren die Anzahl der erforderlichen Rechenoperationen bei n Gleichungen für n Unbekannte im wesentlichen mit n ³ anwächst und kaum damit zu rechnen ist, daß sich diese Anzahl etwa gegenüber dem Gaussschen Algorithmus noch wesentlich, wenn überhaupt herabdrücken läßt, muß ein grundsätzlich anderer Weg der Auflösung in dieser Hinsicht mehr Erfolg versprechen, die iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme. Hier steigt nämlich die Zahl der Operationen, gleiche Anzahl der benötigten Iterationsstufen vorausgesetzt, nur mit n ². Hierin mußte von jeher ein außerordentlicher Anreiz zur iterativen Auflösung gerade umfangreicher Gleichungssysteme liegen. Leider führt das Iterationsverfahren unmittelbar nur in seltenen Fällen zum Ziel, nämlich in der Hauptsache dann, wenn die Hauptdiagonalelemente der Koeffizientenmatrix dem Betrage nach genügend stark überwiegen. Für diesen Sonderfall ist schon früh von Seidel ¹ ein einfaches und sehr wirksames Iterationsverfahren angegeben worden, von dem sich nachträglich herausstellte, daß es bereits Gauss bekannt gewesen und von ihm in verschiedenen Varianten benutzt wórden ist². Da die für dieses Verfahren günstigen Verhältnisse — das Überwiegen der Hauptdiagonalglieder — nur in Ausnahmefällen (die in den Anwendungen immerhin mehrfach vorkommen) von vornherein zutreffen, da das Iterationsprinzip aber aus den geschilderten Gründen so sehr verlocken muß, so ist verständlich, daß man immer wieder versucht hat, eine iterative Auflösung auch für beliebige Gleichungssysteme zu ermöglichen, sei es dadurch, daß das Koeffizientenschema einer Vorbehandlung unterzogen wird, sei es, daß man dem Verfahren als solchem eine allgemeinere und von Fall zu Fall anpassungsfähige Gestalt gibt, oder schließlich, daß man Verfahren aufstellt, deren Konvergenz in jedem Falle gesichert ist.