Theorie der prismatischen Kerbwirkung

Zusammenfassung

Zur Aufstellung der Beziehungen für prismatische Stäbe greifen wir wieder zurück auf die allgemeinen Grundgleichungen von Abschn.III,6. Es war

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiGaaqaabe % qaaiabeo8aZnaaBaaaleaacaWG4baabeaakiabg2da9maalaaabaGa % eyOaIy7aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamOraaqaaiabgkGi2kaadM % hadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaey4kaSYaaSaaaeaacqGHciIT % daahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGgbaabaGaeyOaIyRaamOEamaaCa % aaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGHRaWkcqaHXoqydaqadaqaamaalaaa % baGaeyOaIyRaeuOPdy0aaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaGcbaGaeyOaIy % RaamiEaaaacqGHsisldaWcaaqaaiabgkGi2kabfA6agnaaBaaaleaa % caaIYaaabeaaaOqaaiabgkGi2kaadMhaaaGaeyOeI0YaaSaaaeaacq % GHciITcqqHMoGrdaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaacqGHciITcaWG % 6baaaaGaayjkaiaawMcaaiaadwhacaWGZbGaam4Daiaac6cacaGGSa % aabaGaeqiXdq3aaSbaaSqaaiaadIhacaWG2baabeaakiabg2da9iab % gkHiTmaalaaabaGaeyOaIy7aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamOraa % qaaiabgkGi2kaadIhacqGHciITcaWG5baaaiabgUcaRiabeg7aHnaa % bmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcqqHMoGrdaWgaaWcbaGaaGymaaqaba % aakeaacqGHciITcaWG5baaaiabgUcaRmaalaaabaGaeyOaIyRaeuOP % dy0aaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaaGcbaGaeyOaIyRaamiEaaaaaiaawI % cacaGLPaaacaWG1bGaam4CaiaadEhacaGGUaGaaiilaaaacaGL9baa % aaa!89B9!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\left. \begin{gathered} {\sigma _x} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {z^2}}} + \alpha \left( {\frac{{\partial {\Phi _1}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {\Phi _2}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {\Phi _2}}}{{\partial z}}} \right)usw., \hfill \\ {\tau _{xv}} = - \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial x\partial y}} + \alpha \left( {\frac{{\partial {\Phi _1}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\Phi _2}}}{{\partial x}}} \right)usw., \hfill \\ \end{gathered} \right\}$$

((1))

wobei

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiabg2 % da9iabfA6agnaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgUcaRiaadIhacqqH % MoGrdaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGccqGHRaWkcaWG5bGaeuOPdy0aaS % baaSqaaiaaikdaaeqaaOGaey4kaSIaamOEaiabfA6agnaaBaaaleaa % caaIZaaabeaakiaadwhacaWGUbGaamizaiaaygW7cqaHXoqycqGH9a %qpcaaIYaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIYaaabaGaamyBaaaaaaa!517F!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$F = {\Phi _0} + x{\Phi _1} + y{\Phi _2} + z{\Phi _3}und\alpha = 2 - \frac{2}{m}$$

((2))

wqar, ferner

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyiLdqKaeu % OPdy0aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyypa0JaeyiLdqKaeuOPdy0a % aSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyypa0JaeyiLdqKaeuOPdy0aaSbaaS % qaaiaaikdaaeqaaOGaeyypa0JaeyiLdqKaeuOPdy0aaSbaaSqaaiaa % iodaaeqaaOGaeyypa0JaaGimaaaa!4A10!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$$\Delta {\Phi _0} = \Delta {\Phi _1} = \Delta {\Phi _2} = \Delta {\Phi _3} = 0$$

((3))

vorausgesetzt ist. Bei den nun folgenden Betrachtungen sei die x-Achse zugleich Achse unseres prismatischen Stabes, während die y-Achse mit der Schubrichtung zusammenfallen soll (Abb. 83); die z-Achse sei zugleich Nullinie des Stabquerschnittes. Bei reiner Zug- oder Biegebeanspruchung des prismatischen Stabes treten nur Spannungen σ _x auf, wie wir dies bereits im Abschnitt V mit den Gleichungen (111) bis (113), ferner (137) bis (139) nachgewiesen haben. Die elementare Festigkeitsrechnung gilt daher noch vollkommen streng, welche Form der in der y-, z-Ebene liegende Stabquerschnitt auch haben möge; denn es treten ja keine Spannungskomponenten mit y oder z als Index auf, für welche eine Randbedingung zu erfüllen wäre. Anders ist es jedoch bei Schub und Drillung.