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Die Baireschen Funktionen

  • Hans Hahn
Chapter

Zusammenfassung

Der Übergang von den Funktionen f v einer konvergenten Funktionenfolge {f v } zur Grenzfunktion
$$ f = \mathop {\lim }\limits_{v = \infty } \mathop f\nolimits_v $$
ist das wichtigste analytische Hilfsmittel, um aus einfacheren Funktionen kompliziertere herzustellen. Wir fassen als die einfachsten Funktionen auf einer gegebenen Menge die auf stetigen Funktionen auf und wollen nun systematisch die Funktionen studieren, die ausgehend von stetigen Funktionen durch beliebig oftmaligen Ginzübergang gebildet werden können1).

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Referenzen

  1. 1.
    Ist A der Rk, ist bekanntlich jede auf stetige Funktion Grenzfunktion einer Folge von Polynomen. Die durch iterierte Grenzübergänge aus stetigen Funktionen herstellberen Funktionen sind dann also auch durch iterierte Grenzübergänge aus Polynomen darstellbar: sie sind „analytisch darstellbar“. Näheres hierüber H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 1 ff.Google Scholar
  2. 2.
    Nach R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1809), 63.Google Scholar
  3. 3.
    Abweichend hiervon werden manchmal nur diejenigen Funktionen als von Ö-ter Klasse auf bezeichnet, die zu einer auf 0stetigen Funktion erweitert werden können.Google Scholar
  4. 1.
    Abweichend hiervon werden manchmal alle Funktionen, die wir „von höchstens α-ter Klasse“nennen, als Funktionen α-ter Klasse bezeichnet. 2) Vgl hierzu H. Lebesgue, a. a. O 151 (Fußnote).Google Scholar
  5. 3.
    Sämtliche Sätze dieses Paragraphen sind allgemeine Grenzsätze.Google Scholar
  6. 1.
    Vgl. Kap. II, § 5, S. 134.Google Scholar
  7. 2).
    H. Lebesgue, a. a. 0. 153.Google Scholar
  8. 3.
    Ist die Funktion F(x 1, x 2, x k) auch definiert, wenn einzelne ihrer Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung wegbleiben.Google Scholar
  9. 1).
    R. Baire, Acta math. 30 (1906), 27; vgl. auch Ann. di mat. (3) 3 (1899), 81. Der Satz folgt auch leicht aus den Sätzen Kap. IV, § 7, Satz IV und V.Google Scholar
  10. 2).
    Unter den dort auftretenden E-Mengen sind hier die Teile erster Kategorie von zu verstehen.Google Scholar
  11. 1).
    Ein andrer Beweis bei H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 187.Google Scholar
  12. 1).
    H. Lebesgue, a. a. O., 186.Google Scholar
  13. 2).
    Über die Möglichkeit solcher Zerlegungen vgl. H. Lebesgue, Bull. soc. math. 35 (1907), 207, 212. P. Mahlo, Leipz. Ber. 63 (1911), 346.Google Scholar
  14. 1).
    Ist die Funktion F(x 1 ,x 2 ,…, x k) auch definiert, wenn einzelne ihrer Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung wegbleiben.Google Scholar
  15. 2).
    Der Satz gilt auch für die Funktionen g α . Google Scholar
  16. 3).
    Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung von Kap II, § 10, Satz I.Google Scholar
  17. 1).
    Ein anderer Beweis dieses Satzes bei W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1913), 357.Google Scholar
  18. 1).
    Vermöge der Schränkungstransformation können wir uns auf den Fall eigentlich gleichmäßiger Konvergenz beschränken.Google Scholar
  19. 2).
    Der Zusatz „in “wird weggelassen, wo kein Zweifel über die zugrunde gelegte Menge möglich ist.Google Scholar
  20. 1).
    Ein analoger Satz gilt, wenn höchstens eine Menge α ist.Google Scholar
  21. 1).
    Aus Satz V entnimmt man sofort: „a-Vereinigung in “heißt dasselbe wie: „höchstens Menge 2 in “; „o-Durchschnitt in “heißt dasselbe wie: „höchstens Menge 2 in “.Google Scholar
  22. 1).
    P. Hausdorff, Math, Ann. 77 (1916), 430.Google Scholar
  23. 1).
    Die endlich vielen Kombinationen gleicher Summe können dabei in beliebiger Reihenfolge angeschrieben werden.Google Scholar
  24. 1).
    Vgl. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 279. Von einem all gemeineren Gesichtspunkte aus werden die in §§ 5–8 besprochenen Fragen behandelt in einer während der Drucklegung erschienenen Abhandlung von F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 298.Google Scholar
  25. 1).
    Dabei sind die f v als endlich vorausgesetzt, was durch die Schrän-kungstransformation stets erreicht werden kann.Google Scholar
  26. 1).
    Vgl. zum Folgenden W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 283.Google Scholar
  27. 1).
    Nach H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 168.Google Scholar
  28. 1).
    Vgl. zum Folgenden: H. Lelresgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 156ff. W. Sierpiński, Bull. Crac. 1918, 168.Google Scholar
  29. 1).
    H. Lebesgue, a. a. O. 168.Google Scholar
  30. 1).
    R. Baire, Acta math. 30 (1906), 32.Google Scholar
  31. 2).
    Dabei ist f als endlich vorausgesetzt, was vermöge der Schränkungs-transformation zulässig ist.Google Scholar
  32. 3).
    Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von R. Baire, Acta math. 30 (1906), 31.Google Scholar
  33. 1).
    H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 173.Google Scholar
  34. 1).
    H. Lebesgue, a. a. O.Google Scholar
  35. 1).
    Diese Definition, sowie der gesamte Inhalt dieses Paragraphen bis einschließlich Satz VI stammt von H. Lebesgue, a. a. O. 174ff.Google Scholar
  36. 1).
    Für α = 0 gilt dieser Satz nicht, wie jede Funktion zeigt, die auf einer abgeschlossenen Menge = 1, sonst = 0 ist.Google Scholar
  37. 1).
    Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 16 (für Funktionen einer reellen Veränderlichen); Bull. soc. math. 28 (1900), 173 (für Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher). Andere Beweise H. Lebesgue, C. R. 128 (1899), 811; Bull. soc. math. 32 (1904), 229; Journ. de math. (6) 1 (1905), 182; C. A. Dell’-Agnola, Atti Ven. 68 (1909), 775; Rend. Lomb. 41 (1908), 287, 676.Google Scholar
  38. 1).
    Auf andrem Wege zuerst bewiesen von R. Baire, Acta math. 30 (1906), 17.Google Scholar
  39. 1).
    Der Beweis entsteht aus dem Beweise von § 9, Satz IV durch ganz dieselben Abänderungen wie der Beweis von Satz VI aus dem Beweise von § 9, Satz I.Google Scholar
  40. 1).
    Auf andrem Wege bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 75.Google Scholar
  41. 2).
    Kap. III, § 7, S. 227.Google Scholar
  42. 1).
    Das erste Beispiel einer Funktion dritter Klasse wurde von R. Baire angegeben (Acta math. 30 (1906) 30ff.); wir kommen darauf unten zurück. Wie R. Baire mitteilt (a. a. O. 47), war V. Volterra schon 1898 im Besitze eines solchen Beispieles.Google Scholar
  43. 1).
    A. a. O., wo man auch alle Beweise der folgenden Behauptungen findet.Google Scholar
  44. 1).
    Vgl. S. 371, Fußn.2).Google Scholar
  45. 1).
    Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 205 ff. Eine vereinfachte Darstellung des Beweises, der wir uns hier angeschlossen haben, wurde gegeben von Ch. J. de la Vallée-Poussin in: Intégrales de Lebesgue, Fonctions d’ensemble, Classes de Baire (Paris 1916), 145 ff.Google Scholar
  46. 1).
    Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung: Ist höchstens eine Mengeα+2 in gibt es eine Folge {f v} von Funktionen geringerer als α-ter Klasse auf , deren Konvergenzmenge ist. Wegen des Beweises verweisen wir auf H. Hahn, Arch. d. Math. u. Phys. (3) 28 (1919), 34.Google Scholar
  47. 2).
    Vgl. Kap. IV, § 9, S. 292.Google Scholar
  48. 2).
    Übrigens kann nicht einmal aus der Annahme, es sei f(x,y) stetig auf jeder Geraden des R2, oder sogar auf jeder analytischen Kurve des R2, auf die Stetigkeit von f(x,y) im R2 geschlossen werden. Vgl. H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 199.Google Scholar
  49. 1).
    Die dort mit a und b bezeichneten Punkte sind hier a(1) bzw. a(2).Google Scholar
  50. 1).
    Allgemein ist jede Funktion f(a (1) , a (2),…, a(k)), die stetig ist als Funktion jeder einzelnen ihrer Veränderlichen bei Festhaltung der übrigen, punktweise unstetig als Funktion von (a(1), a(2),…, a(k)). Dies wurde für k = 3 gezeigt von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 95, allgemein von H. Hahn, Math. Zeitschr. 4 (1919), 306.Google Scholar
  51. 2).
    R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 94. E. B. Van Vleck, Am. Trans. 8 (1907), 200.Google Scholar
  52. 1).
    E. B. Van Vleck, a. a. O. Vgl. auch R. Baire, a. a. O. 27Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

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