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Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen

  • Hans Hahn

Zusammenfassung

Sei A eine Menge irgendwelcher Elemente. Ist jedem Elemente a von A eine reelle Zahl zugeordnet, die mit f (a) bezeichnet werde, so sagen wir, es sei durch diese Zuordnung eine (einwertige) r e e 11 e Funktion f (a) auf A definiert1). Eine reelle Funktion auf A ist also (Einleitung § 1, S. 1) nichts anderes als eine Abbildung der Menge A in die Menge aller reellen Zahlen (eine Belegung von A mit reellen Zahlen). Ist insbesondere A eine Punktmenge des euklidischen R k :
$$ a = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_k}} \right) $$
so schreibt man:
$$ f\left( a \right) = f\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_k}} \right) $$
, und nennt f (a) eine auf A definienrta Funktion der reellen Veränderlichen x 1, x 2,..., x k .

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Referenzen

  1. 1).
    Versteht man unter A ein Intervall des R1, so ist dies,der Funktionsbegriff, wie er von G. Lejeune- Dirich1et formuliert wurde: Repert. d. Phys. 1 (1837), 152; Werke 1, 135; Ostwalds Klassiker Nr. 116, 3.Google Scholar
  2. 1).
    Dieser Satz dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) auf Weierstra ß zurückgehen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz (Kap. I, § 1, S. 58); M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 8.Google Scholar
  3. 1).
    Sie dürfte in der Literatur zuerst bei E. Heine zu finden sein (Journ: f. Math. 74 (1872), 182), der sich dabei auf G. Cantor beruft.Google Scholar
  4. 2).
    Satz II und III sind allgemeine Grenzsätze.Google Scholar
  5. 1).
    B. Bolzano, Rein analytischer Beweis usw. Prag 1818, 11 = Ostwalds Klassiker Nr. 153, 7. A. Cauchy, Cours d’analyse 1 (1821), 34 = Euvres (2) 3, 43.Google Scholar
  6. 1).
    Wie der Beweis zeigt, ist Satz VIII ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  7. 2).
    Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  8. 3).
    Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz. Er dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst von Weerstra amp;#x0042; in seinen Vorlesungen bewiesen worden sein. Man überzeugt sich leicht, daß die Bedingungen, sei kompakt und abgeschlossen, nicht entbehrt werden können. Näheres hierüber M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 31Google Scholar
  9. 3a).
    H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 255.Google Scholar
  10. 1).
    Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  11. 1).
    Statt dessen kann es auch heißen: für eine (im b1) überall dichte Menge von Zahlen c. Google Scholar
  12. 1).
    Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz; er wurde (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst bewiesen von B. Bolzano, Rein analytischer Beweis usw. (1818), 12, 51 = Ostwalds Klassiker Nr. 153, 8, 31.Google Scholar
  13. 3).
    Dies wurde betont von G. Darboux, Ann. Éc. Norm. (2) 4 (1875), 109.MathSciNetGoogle Scholar
  14. 4).
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    Vgl. auch E. Cero, Bull. sci. math. (2) 21 (1897), 258.Google Scholar
  16. 4b).
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  18. 4d).
    W. H. Young, F. Apt, Arch. d. Math. (3) 20 (1912), 189.Google Scholar
  19. 1).
    Eine andre, auf nicht- metrischer Grundlage ruhende Definition der gleichmäßigen Stetigkeit wird vorgeschlagen von W. Sierpiński, Wektor 2 (1912), 353.Google Scholar
  20. 2).
    Dieser Satz wird gewöhnlich E. Heine zugeschrieben. Doch findet er sich schon in einer von Dirichiet 1854 gehaltenen Vorlesung (G. Leje Dirichlets Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen, herausgegeben von G. Arendt (1904), 4). In der im Text gegebenen Allgemeinheit wurde der Satz bewiesen von M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 29.Google Scholar
  21. 1).
    Satz I findet sich wohl zum erstenmal (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) bei E. Heine, J. f. Math. 74 (1872), 183. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  22. 1).
    Zur folgenden Gleichung vgl. Einleitung § 7, Satz V; § 2, Satz I; § 7, Satz VIII.Google Scholar
  23. 2).
    R. Baire, Acta math. 30 (1906), 17.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  24. 1).
    S. Pincherle, Mem. Bol. (5) 3 (1893), 293.Google Scholar
  25. 1).
    T. Brodén, J. f. Math. 118 (1897), 3;Google Scholar
  26. 1).
    T. Brodén, Acta Univ. Lund. 8 (1897), 10.Google Scholar
  27. 1).
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  28. 1).
    Vgl. auch L. Scheeffer, Acta math. 5 (1881), 294.Google Scholar
  29. 2).
    Ist 9.1 kompakt und abgeschlossen, so ist nach § 4, Satz IX die Bedingung auch notwendig.Google Scholar
  30. 1).
    Einen sehr einfachen Beweis für diesen Satz werden wir in § 10, S. 166 angeben.Google Scholar
  31. 2).
    Sie können auch identisch sein.Google Scholar
  32. 1).
    Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  33. 1).
    Dieser Teil von Satz III ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  34. 1).
    Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  35. 1).
    Letzteres nur, wenn f3 + 0 auf.Google Scholar
  36. 1).
    Dieser Satz ist ein Spezialfall des Satzes von der Invarianz der Dimensionszahl gegenüber eineindeutigen stetigen Abbildungen. Vgl. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 70 (1911), 161.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  37. 2).
    Notwendige und hinrechende Bedingungen dafür, daß eine gegebene Punktmenge stetges Bild einer Strecke sei, findet man bei H. Hahn, Wien. Ber. 123 (1914), 2433.Google Scholar
  38. 3).
    Sie rührt her von G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), 157.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  39. 3a).
    Vgl. auch E. Cesàro, Bull. sci. math. (2) 21 (1897), 257;Google Scholar
  40. 3b).
    D. Hilbert, Math. Ann. 38 (1891), 459; A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1896, 255;MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  41. 3c).
    E. H. Moore, Am Trans. 1 (1900), 72.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  42. 1).
    Der Fall g = 3 ist der zuerst von Peano durchgeführte; der Fall g= 2 wurde von Hilbert besprochen.Google Scholar
  43. 1).
    Z. B. in Fig. 3 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 7, 10, 55, 58; in Fig. 4 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 12, 25, 30, 43.Google Scholar
  44. 2).
    H. Hahn, Ann. dimat. (3) 21 (1913), 50. Ein andres Verfahren bei G. Peiya, Bull. Crac. 1913, 312.Google Scholar
  45. 1).
    Dann sind p, q Punkte erster Art von P.Google Scholar
  46. 2).
    Wir unterscheiden also hier zwischen den zwei dieselbe Zahl darstellenden, aber formal verschiedenen g-Brüchen (†) und († †).Google Scholar
  47. 3).
    Es kann auch die Pe an o sehe Abbildung ohne alle Schwierigkeiten auf den ik übertragen werden (G. Pe an o, a. a. O. 159).Google Scholar
  48. 1).
    H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 210.Google Scholar
  49. 2).
    Dieser Begriff wurde eingeführt von R. B aire, auf den auch die folgenden Sätze im wesentlichen zurückgehen: Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6. Leçons sur les fonctions discontinues (1905) 71, 84. Vgl. auch W. H. Young, Rom 4. Math. Kongr. (1908) Bd. 2, 49.Google Scholar
  50. 3).
    Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  51. 1).
    Der Satz gilt auch für unterhalb stetige Funktionen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  52. 1).
    Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  53. 1).
    Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  54. 2).
    Statt dessen kann es auch heißen: für eine (im b1) überall dichte Menge von Zahlen c. Google Scholar
  55. 1).
    Vgl. hierzu W. H. und G. Ch. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910). 330.zbMATHGoogle Scholar
  56. 3).
    R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125. Vgl. auch W. H. Young, Mess. of math. 1908, 148.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  57. 4).
    Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  58. 5).
    Für unterhalb stetige Funktionen gilt der Satz, wenn f, monoton wachst.Google Scholar
  59. 1).
    R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  60. 1a).
    Vgl. auch W. H. Young, Proc. Cambr. Phil. Soc. 14 (1908), 523.Google Scholar
  61. 1b).
    Für beliebige metrische Räume wurde der Satz zuerst bewiesen von H. Tietze, Journ. f. Math. 145 (1914), 9.zbMATHGoogle Scholar
  62. 1c).
    Andre Beweise: H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 91;Google Scholar
  63. 1d).
    C. Carathéodory, Vorl. über reelle Funktionen 401. Der einfachste (erst während der Drucklegung ers chienene) Beweis bei F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 293.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  64. 2).
    Vgl. den Beweis von Satz VIII, § 5.Google Scholar
  65. 1).
    H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 103.Google Scholar
  66. 1).
    Der folgende Beweis stammt von F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 295.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  67. 1).
    F. Hausdorff, a. a. O. 296.Google Scholar
  68. 1).
    R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6.Google Scholar
  69. 1).
    Vgl. W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1908), 82;Google Scholar
  70. 1a).
    Vgl. W. H. Young, Loud. Proc. (2) 8 (1910), 119.Google Scholar
  71. 1).
    Da die leere Menge Teil jeder Menge, so kommt auch die leere Menge in E vor.Google Scholar
  72. 1).
    R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 72, 81;Google Scholar
  73. 1).
    R. Baire, Acta math. 30 (1906); 21.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  74. 1).
    Vgl. hierzu auch H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 185, 189.Google Scholar
  75. 1).
    W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1908), 82.Google Scholar
  76. 2).
    Vgl. hierzu W. H. Young, a. a. O. 73.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

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