Zusammenfassung
Die Potenzreihe \(\sum\limits_{v = 0}^\infty {{c_v}{z^v}} \) besitze einen endlichen Konvergenzradius, der hier ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich Eins angenommen werden kann. Die durch diese Reihe dargestellte Funktion
hat bekanntlich mindestens eine singuläre Stelle auf dem Einheitskreise ; doch ist es i. A. schwierig, aus bestimmten Eigenschaften der Koeffizienten c v auf den analytischen Charakter der Funktion in einem gegebenen Punkte des Einheitskreises zu schließen. Wohl der einfachste hierhergehörige Satz lautet : Sind die cv von irgendeiner Stelle y = n ab sämtlich reell und ≥ 0, so ist z = 1 eine singuläre Stelle der Funktion f ( z ).2)
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Referenzen
Diese Arbeit bildete den Gegenstand eines Vortrages, den ich anläßlich der 86. Naturforscherversammlung im September 1920 in Bad Nauheim hielt. Satz III ist inzwischen, noch in verallgemeinerter Form, von F. Carlson und E. Landau (Neuer Beweis und Verallgemeinerungen des Fabryschen Lückensatzes, Göttinger Nachrichten, vorgelegt am 8. Juli 1921) veröffentlicht worden. Die beiden Herren hatten von meinem Nauheimer Vortrag keine Kenntnis und ihr Beweis ist von dem meinen verschieden.
Der Satz wurde fast gleichzeitig von Vivanti und Pringsheim gegeben und ein Beweis zuerst von Pringsheim veröffentlicht. Vgl. G. Vivanti, Sulle serie di potenze, Rivista di Matematica 3 (1893), S. 111–114 (dat. vom 29. Mai 1893); insb. S. 112. – A. Pringsheim, Über Funktionen, welche in gewissen Punkten endliche Differentialquotienten jeder endlichen Ordnung, aber keine Taylorsche Reihenentwicklung besitzen, Mathematische Annalen 44 (1894), S. 41–56 (datiert vom Juli 1893); insbes. S. 42. Vgl. auch G. Vivanti, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Umarbeitung unter Mitwirkung des Verfassers deutsch herausgegeben von A. Gutzmer, Leipzig, 1906, S. 399.
E. Landau, Über einen Satz von Tschebyschef, Math. Annalen 6t (1905), S. 527–550; insbes. S. 534–537. Vgl. auch E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Leipzig 1909, Bd. 2, § 243.
Es ist klar, daß man endlich viele av von der Bedingung ausnehmen darf.
Hierin ist offenbar der Satz enthalten Liegen die cv von einer Stelle v = n ab sämtlich in einem Winkel von der Öffnung a < π der komplexen Ebene, mit dem Nullpunkt als Eckpunkt, so ist s = 0 eine singuläre Stelle der Funktion D(s). Für Potenzreihen gab diesen Satz Herr P. Dienes (Essai sur les singularités des fonctions analytiques, Journal de Math. pures et appl. (6) 5 (1909), S. 327–413; insb. S. 328 u. S. 338–340), für Dirichletsche Reihen der Gestalt Herr M. Fekete (Sur les sé ries de Dirichlet, Comptes rendus Paris 150 (1910), S. 1033–1036; insb. S. 1034–1035); der daselbst angedeutete Beweis gilt auch für allgemeine Dirichletsche Reihen.
H. Cramér, Un théorème sur les séries de Dirichlet et son application, Arkiv för matematik, astronomi och fysik, Stockholm, 13 (1918–19), Nr. 22; insb. S. 7.
Vgl. z. B. A. Pringsheim, Über einige funktionentheoretische Anwendungen der Eulerschen Reihentransformation, Sitzungsberichte der Akademie München, mathem.phys. Klasse 1912, S. 11–92; insb. S. 85 u. S. 87–88.
Eine ähnliche Überlegung bei G. Faber, Über die Nichtfortsetzbarkeit gewisser Potenzreihen, ebenda 1904, S. 63–74; insb. § 3. — Pringsheim, a. a. O.7), S. 88–91.
Eine leichte Verschärfung dieser Abschätzungen zeigt, daß die Bedingungen (5) durch die allgemeineren ersetzt werden können:(Math)
Vgl. Cramér, a. a. O. 6), S. 3–4.
Für Potenzreihen (also 2 ) und die enre Bedingung : konverv=1 qv giere, gab den entsprechenden Satz Herr Em. Beke (Vizsgâlatok az analytikai függvények elmélete köréböl, Math. és Természettud. Értesitö 34 (1916), S. 1–61; insbes. S. 27–30). In der obigen Bezeichnung ist a1+der erste negative Koeffizient a1+q2 der darauffolgende erste positive Koeffizient usw.
E. Fabry, a) Sur les points singuliers d’une fonction donnée par son développement en série et l’impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux, Ann. de l’c. Normale (3) 13 (1896), S. 367–399; insbes. S. 381–382; b) Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers, Acta mathematica 22 (1899), S. 65–87; insbes. S. 86. — Vgl. ferner Faber, a. a. O. 8), Pringsheim, a. a. O. 7), insbes. § 5. — Für den Spezialfall (Math) verweisen Carlson und Landau auf die Diss. von Wennberg (Uppsala 1920), die mir nicht zugänglich war. Die aus I und II für = v resultierenden Sätze lassen sich auch aus den Fabryschen Resultaten herleiten.
p. Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta math. 30 (1906), S. 335–400 ; insbes. S. 400.
A. Hurwitz und G. Pólya, Zwei Beweise eines von Herrn Fatou vermuteten Satzes, Acta math. 40 (1915), S. 179–183.
Vgl. z. B. E. Landau, a. a. O. 3), Handbuch usw., S. 759.
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Szász, O. (1922). Über Singularitäten von Potenzreihen und Dirichletschen Reihen am Rande des Konvergenzbereiches. In: Festschrift David Hilbert zu Seinem Sechzigsten Geburtstag am 23. Januar 1922. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52605-3_13
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