Zusammenfassung
Geschlossene Lösungen der Grundgleichungen starrplastischer (sowie erst recht: elastisch-plastischer) Materialien existieren nur für einfache geometrische Formen und für mathematisch leicht beschreibbares Werkstoffverhalten (z. B.: idealplastisch). Wir beginnen mit Torsions-, Zug- bzw. Druckbeanspruchungen gerader Stäbe oder Rohre und wenden uns dann den Biegevorgängen zu. Dies eröffnet uns schließlich den Übergang zum Tiefziehen, Rohrziehen und zu ähnlichen Umformvorgängen dünnwandiger Körper, wobei auch Ansätze für Hochgeschwindigkeitsumformung sowie für anisotrope Metalle gestreift werden.
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Literatur
Die Umfangsrichtung Ψ deckt sich im betrachteten Punkt v o r der Stabachse mit der gezeichneten, auf einen anderen Punkt bezogenen r-Richtung.
Die am Ende von [517, Ziff. 9.3.3.4] angefügte Bemerkung, daß Tresca im allgemeinen gar keine Lösung erlaube, geht von einer zu einschränkenden Formulierung dieses Fließgesetzes aus.
sgn x = +1 für x > 0, — 1 für x < 0, 0 für x = 0.
Der Leser prüfe die Integration am schnellsten durch Differentiation sowie anhand der Randbedingung σ r = 0 für ξ = 1.
Prüfung der Integration am einfachsten durch Differentiation nach c mit (2.1/24) und mit â = 0 für c = 1.
Übertragung auf große Formänderungen ist möglich.
Hier entgegen (2.1/5) vorzeichenbehaftet.
Alle isotropen Fließregeln führen hier zum gleichen Ergebnis, weil die Richtungen der resultierenden Schergeschwindigkeit und Schubspannung übereinstimmen.
Eine andere Herleitung von Gl. (2.1/37) ergibt sich unmittelbar aus (2.1/36), wenn man dort das x,y-System parallel bzw. orthogonal zur Spannungstrajektorie dreht.
Vgl. Fußnote 3, S. 81.
Bei geschwindigkeitsabhängigem Werkstoffverhalten wäre ϰ selbst von Interesse.
Sogar unter qualitativer Berücksichtigung des Bauschinger-Effektes, der sich aber in den Ergebnissen quantitativ kaum auswirkt.
Sehr viel schwieriger lassen sich Restspannungen in gebogenen Kreisplatten berechnen [267].
Vgl. Fußnote 11, S. 96.
Dies kann auch eine Folge des bei Experimenten stets vorhandenen dreiachsigen Spannungszustandes Scin.
Für bessere Approximationen wähle man statt b den Mittelradius r m = 1/2(a + b).
Ausgezogene Linie.
Die Rechnung nach Lévy-Huber-v. Mises liefert zwar qualitativ richtiger eine zunehmende Blechdicke D, doch kommt sie gegenüber dem Experiment etwa um das Doppelte zu groß heraus [327]. Siehe hierzu (2.3/19) und nachfolgenden Text.
Annahme : Die Biegearbeit ist annähernd unabhängig vom überlagerten Längszug, wenn man die Blechdehnung während der Biegung vernachlässigt.
P nicht mit dem laufenden Radius r verwechseln !
Prüfung durch Einsetzen in (2.3/28).
Der Krümmungsradius r’ b stellt sich von selbst ein und ist nicht im voraus bekannt [258].
Das spiegelt die vorliegenden Verhältnisse äußerst grob wieder, da der gekrümmte Rohrteil gar nicht unbedingt am Werkzeug anliegt. Für genauere Abschätzungen siehe [258, 393].
Y = Y 0 e φ ; dies entspricht nach (2.2/49), (2.2/50) einer linearen Arbeitsverfestigung mit dem Koeffizienten r ‘ = 1.
Für D ≠ const müßte wegen (2.3/44) wieder die vorerwähnte (unrealistische) Fließkurve Y — Y 0 e φ vorausgesetzt werden, vgl. Fußnote 26, S. 123.
Andernfalls liegt hydrostatisches Tiefziehen vor, das hinsichtlich der Kräfte in Abschnitt 2.3.1 annähernd mit erfaßt wird.
Storâkers behauptet, daß noch andere Lösungen existieren [403, S. 30].
Ein vergleichbares Ergebnis p = p(h) fehlt bei Woo [263].
Prüfung durch Einsetzen.
Der mit Bessel-Funktionen vertraute Leser verifiziere durch Einsetzen. Andernfalls vgl. [278, 279].
z. B. [279].
Maurice Fr. A. Couette (1858–1943).
Dort allgemeiner ein Cossèrat-Kontinuum (Eigendrehung der Körner berücksichtigt), aber von vornherein Gleichheit der Reib- und Dilatanzwinkel angesetzt.
Bezeichnung β statt Ψ, um Verwechslungen mit dem Reibwinkel Ψ zu vermeiden.
Beachte die Koordinatenrichtung von β.
Prüfung durch Einsetzen, sgn α = +1 für α > 0, -1 für α < 0, 0 für α = 0.
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© 1981 Springer-Verlag Berlin, Heidelberg
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Lippmann, H. (1981). Einige geschlossene Lösungen und deren Erweiterungen. In: Mechanik des Plastischen Fließens. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52209-3_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-52209-3_3
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