Über eine Darstellungsweise der invarianten Gebilde im binären Formengebiete

[Mathem. Annalen Bd. 30, S. 15–29 (1887).]
  • David Hilbert

Zusammenfassung

In der gegenwärtigen Mitteilung wird ein eigentümliches Verfahren zur Darstellung von Invarianten und Kovarianten eines binären Formensystems allgemein begründet und dann für die invariantentheoretische Untersuchung gewisser binärer Formen von speziellem Charakter verwertet.

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Literatur

  1. 1.
    Die genaue Formel findet sich in der zitierten Dissertation, S. 2.Google Scholar
  2. 1.
    Die Möglichkeit dieser Darstellungsweise der invarianten Gebilde seheint bisher wenig beachtet oder verwertet zu sein, vgl. jedoch FaÀ di Bruno: Theorie der binären Formen, deutsch bearbeitet von TH. Walter, 1881, § 14, 11. — Neuerdings veröffentlicht Brioschi in diesen Annalen Bd. 29 S. 327 einen Satz, welcher aus dem obigen, bereits in der zitierten Dissertation aufgestellten Theorem unmittelbar folgt, wenn man darin an Stelle der willkürlichen Variablen x den Wert irgendeiner Wurzel der Gleichung f = 0 einführt. Wie Brioschi an Beispielen zeigt, findet dieser Satz eine nützliche Verwendung zur algebraischen Transformation jener Gleichung f = 0. — Übrigens gilt ein analoges Theorem auch für ternäre, quaternäre usw. Grundformen, deren Invarianten und Kovarianten als Funktion der Differentialquotienten nach zwei, drei, usw. Variablen darstellbar sind.Google Scholar
  3. 2.
    Vgl. Salmon: Algebra der linearen Transformationen. 1877, Art. 143–147.Google Scholar
  4. 3.
    In diesem Theorem ist zugleich als spezieller Fall das Lemma enthalten, welches kürzlich S. Gundelfinger in der Abhandlung „Zur Theorie der binären Formen“ Crelles J. Bd. 100 S. 413 mitteilt.Google Scholar
  5. 1.
    Auf dem erwähnten Umstände beruht die Beweismethode in der zitierten Abhandlung von S. Gundblfinger. — Vgl. ferner die Note des Verfassers: Über die notwendigen und hinreichenden kovarianten Bedingungen für die Darstellbarkeit einer binären Form als vollständige Potenz. Math. Ann. Bd. 27 S. 158. Siehe diesen Band Abh. 2.Google Scholar
  6. 1.
    Vgl. Sylvester: Sur les actions mutuelles des formes invariantives dérivées. Crelles J. Bd. 85 S. 89.Google Scholar
  7. 2.
    Über binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst. Math. Ann. Bd. 9 S. 183. — Vgl. andererseits Gordan: Über Formen mit verschwindenden Kovarianten. Math. Ann. Bd. 12 S. 147.Google Scholar
  8. 1.
    Vgl. beispielsweise die Behandlung der Modular- und Multiplikatorgleichung 6-ten Grades. Clebsch: Binäre Formen § 114 und 115.Google Scholar
  9. 1.
    Vgl. am Schlusse dieser Mitteilung das Beispiel der Kugelfunktion 6-ter Ordnung.Google Scholar
  10. 2.
    Mit Benutzung dieser bekannten linearen Transformation ist die genaue Auswertung der Diskriminante für die im Endlichen abbrechende hypergeometrische Reihe möglich.Google Scholar
  11. 1.
    Vgl. Salmon: Algebra der linearen Transformationen, Art. 251, 252, 253.Google Scholar
  12. 1.
    Vgl. die anfangs zitierte Dissertation des Verfassers, S. 17 und 28, wo diese Bechnung für die allgemeine Kugelfunktion der 5-ten und der 6-ten Ordnung im wesentlichen durchgeführt ist. Dieser Band Abh. 1, S. 19 und 31.Google Scholar
  13. 1.
    Betreffs weiterer den Kugelfunktionen allein zukommenden invarianten Eigentümlichkeiten vgl. die zitierte Dissertation, S. 15, 16, 18, 26. Dieser Band Abh. 1, S. 16–20, 29.Google Scholar

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1933

Authors and Affiliations

  • David Hilbert

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