Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen dritter Ordnung mit drei singulären Stellen

Zusammenfassung

Ein großer Teil der Probleme, welche aus linearen Differentialgleichungen entspringen, besteht in der Aufgabe, nach Vorgabe der singulären Stellen der Differentialgleichung und der Wurzeln der zu den singulären Stellen gehörigen determinierenden Gleichungen die noch übrig bleibenden sogenannten akzessorischen Parameter durch Eigenschaften der Monodromiegruppe zu bestimmen und womöglich in eindeutiger Weise festzulegen. Um einen konkreten Fall zu nennen, sei an die Aufgabe erinnert, bei einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung nach Vorgabe der singulären Stellen und der Wurzeln der dazu gehörigen determinierenden Gleichungen die akzessorischen Parameter so zu bestimmen, daß alle Substitutionen, die der Quotient η zweier linear unabhängiger Partikularlösungen der Differentialgleichung bei beliebigen Umläufen der unabhängigen Veränderlichen erfährt, einen Kreis in der η-Ebene bez. auf der η-Kugel in sich überführen. Nach Trennung der akzessorischen Parameter in reellen und imaginären Teil erhält man dann zur Bestimmung dieser Größen eine der Anzahl der Unbekannten entsprechende Zahl transzendenter Gleichungen, von denen zu zeigen ist, daß sie gemeinsame Wurzeln besitzen; ist dieser Nachweis erbracht, so bleibt immer noch die Aufgabe, die Wurzeln, soweit als möglich, durch charakteristische Eigenschaften gegenseitig zu trennen.