Ueber einige nicht algebraische Minimalflächen, welche eine Schaar algebraischer Curven enthalten

Zusammenfassung

Die bis jetzt genauer untersuchten nicht algebraischen Minimalflächen, welche eine Schaar algebraischer Curven enthalten*), besitzen folgende Eigenschaften:

• 1. Die transcendenten Functionen, von Vielehen die analytische Bestimmung dieser Flächen abhängt, sind bei passender Wahl der unabhängigen Variablen entweder Logarithmen, oder elliptische Integrale erster und zweiter Art, welche zu reellen Invarianten g₂ und g₃ gehören.

• 2. Längs jeder Curve der auf einer dieser Flächen liegenden Schaar algebraischer Curven hat der reelle oder der imaginäre Bestandtheil des in Betracht kommenden Logarithmus, beziehungsweise elliptischen Integrals erster Art, einen constanten Werth. In Folge dieses Umstandes gestattet jede der erwähnten Flächen eine solche conforme Abbildung auf eine Ebene, dass der Schaar von algebraischen Curven, welche sie enthält, in jener Ebene eine Schaar von parallelen Geraden entspricht.

• 3. Die erwähnten Flächen sind einander paarweise zugeordnet, in der Art, dass von je zwei einander zugeordneten Flächen jede eine Biegungsfläche der andern ist, während den Krümmungslinien der einen die Asymptotenlinien der andern entsprechen und umgekehrt. Hierbei stehen die auf den Flächen eines Paares liegenden zwei Schaaren von algebraischen Curven in der Beziehung zu einander, dass die Curven der einen Schaar die Biegungslinien der orthogonalen Trajectorien der Curven der andern Schaar sind und umgekehrt.

Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 87, S. 146–160.