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Part of the book series: Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete ((MATHE1,volume 2))

  • 321 Accesses

Zusammenfassung

Es sei x eine zufällige Größe und A eine Menge aus F. Wir bilden dann für ein positives m die Summe

$${S_{\lambda }} = \sum\limits_{{}}^{{}}{k\lambda P\left\{{k\lambda\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} x <(k + 1)\lambda ,\xi \subset A}\right\}.}$$
((1))

Wenn diese Reihe bei jedem.X absolut konvergiert, so strebt S λ mit λ → 0 gegen einen bestimmten Limes, welcher nach Definition das Integral

$$\int\limits_{A}{xP(eD)}$$
((2))

ist. In dieser abstrakten Form wurde der Integralbegriff von M. Fréchet eingeführt2, sie ist insbesondere für die Wahrscheinlichkeitsrechnung unentbehrlich (der Leser wird übrigens im folgenden Paragraphen sehen, daß die übliche Definition der bedingten mathematischen Erwartung der Größe x unter der Hypothese A bis auf einen konstanten Faktor mit der Definition des Integrals (2) zusammenfällt).

Wie es im § 5, drittes Kapitel, erwähnt wurde, betrachten wir in diesem und in den folgenden Kapiteln nur Borel sche Wahrscheinlichkeitsfelder.

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Literatur

  1. Fréchet: sur l’intégrale d’une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait. Bull. Soc. Math. France Bd. 43 (1915) S. 248.

    Google Scholar 

  2. Man setzt dabei voraus, daß y eine zufällige Größe ist, d. h. in der Terminologie der allgemeinen Integrationstheorie in bezug auf F meßbar ist.

    Google Scholar 

  3. Vgl. V. Glivenko: Sur les valeurs probables de fonctions. Rend. Accad. Lincei Bd. 8 (1928) S. 480–483.

    Google Scholar 

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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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© 1933 Springer-Verlag Berlin Heidelberg

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Kolmogoroff, A. (1933). Mathematische Erwartungen. In: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 2. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-49888-6_4

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