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Die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

  • A. Kolmogoroff
Part of the Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete book series (MATHE1, volume 2)

Zusammenfassung

Wir nennen elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung denjenigen Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in welchem Wahrscheinlichkeiten von nur endlich vielen zufälligen Ereignissen vorkommen. Die Sätze, die hier gewonnen werden, werden natürlich angewandt auch auf Fragen, die mit unendlich vielen zufälligen Ereignissen verbunden sind, allerdings braucht man bei der Behandlung dieser letzteren Fragen auch wesentlich neue Prinzipien. Deshalb wird ein sich gerade auf den Fall unendlich vieler zufälliger Ereignisse beziehendes Axiom der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie erst zu Beginn des zweiten Kapitels eingeführt (Axiom VI).

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Literatur

  1. 1.
    Vgl. z. B. R. von Mises [1] und [2] und S. Bernstein [1].Google Scholar
  2. 2.
    Ein Leser, der den folgenden Axiomen sofort einen konkreten Sinn geben will, soll sogleich den § 2 lesen.Google Scholar
  3. 3.
    Vgl. Hausdorff: Mengenlehre 1927 S. 78. Ein Mengensystem heißt ein Körper, wenn Summe Durchschnitt und Differenz von zwei Mengen des Systems wieder dem System angehören. Jeder nicht leere Mengenkörper enthält die Nullmenge 0. Wir bezeichnen mit Hausdorff den Durchschnitt von A und B mit AB, die Vereinigungsmenge von A und B im Falle AB =0 mit A + B, allgemein aber mit A + B, und die Differenz von A und B mit A - B. Das Komplement E - A der Menge A wird durch A bezeichnet. Die elementaren Rechengesetze für Mengen und ihre Durchschnitte, Summen und Differenzen werden weiter als bekannt vorausgesetzt. Mengen aus werden weiter mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet.Google Scholar
  4. 1.
    Ein Leser, der sich nur für die rein mathematische Entwicklung der Theorie interessiert, braucht diesen Paragraphen nicht zu lesen — die weitere Darstellung beruht auf den Axiomen des § 1 und benutzt nicht die Überlegungen des gegenwärtigen Paragraphen. In diesem wollen wir uns mit dem bloßen Hinweis auf die empirische Entstehung der Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung begnügen und lassen deshalb eine eingehende philosophische Untersuchung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes in der Erfahrungswelt bewußt beiseite. In der Darstellung der notwendigen Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Welt der reellen Geschehnisse folgt der yerfasser im hohem Maße den Ausführungen von Herrn von Mises (vgl. insbesondere [1] S. 21–27: „Das Verhältnis der Theorie zur Erfahrungswelt“).Google Scholar
  5. Vgl. § 3, Formel (3).Google Scholar
  6. 1.
    Vgl. [1] und [2].Google Scholar
  7. 1.
    Vgl. S. Bernstein [1], S. 47–57. Der Leser kann das übrigens selbst mühelos nachprüfen (Induktionsschluß).Google Scholar
  8. 1.
    Zum Beweise erinnere man sich an die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit [Formel (5) aus § 4] und ersetze die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte durch Produkte der Wahrscheinlichkeiten nach der Formel (3).Google Scholar
  9. 1.
    Die Notwendigkeit dieser Bedingungen folgt aus dem Satz II, § 5, daß sie auch hinreichend sind, schließt man unmittelbar aus dem Multiplikationssatz [Formel (7) des § 4].Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1933

Authors and Affiliations

  • A. Kolmogoroff

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