Estimation Problems in the Determination of the Even Zonal Harmonics of the External Potential of the Earth

Abstract

The essential difficulty is that the number of parameters (harmonic coefficients) required to describe the effect of the potential on a satellite exceeds the number of independent observations; accordingly, the principle of least squares must be supplemented by some additional hypothesis if unique estimates of the coefficients are to be obtained. Estimates of the parameters are required for three purposes: the description of the existing observations, the prediction of future observation and the specification of the physical state of the Earth and the implications for these three aims of the indeterminancy of the problem are considered.

Another consequence of the indeterminancy is that the estimates of the harmonic coefficients are quite strongly correlated.

A feature of the problem is that the weights of the observations vary in a systematic way with the inclinations of the orbits, a situation not usually met with in least squares estimation problems.

In principle the harmonic coefficients could be separated more efficiently if orbits with a range of semi-major axes were available but the scope of this procedure is rather limited; however, by applying it, the coefficients J ₂, J ₄ and J ₆ can be determined with some assurance.

Résumé

La difficulté essentielle vient de ce que le nombre de paramètres (les coefficients des harmoniques) exigés pour décrire l’effet du potentiel sur un satellite est plus grand que le nombre d’observations indépendantes. De ce fait il faut adjoindre à la méthode des moindres carrés des hypothèses supplémentaires si l’on veut obtenir des valeurs uniques pour les coefficients. Des estimations des paramètres sont nécessaires pour trois raisons: la description des observations existantes, la prédiction des observations futures et la connaissance de l’état physique de la Terre. On a considéré les implications de ces trois buts sur l’indétermination du problème.

Une autre conséquence de l’indétermination est que les valeurs des coefficients des harmoniques sont étroitement liées.

Un des aspects du problème est que les poids des observations varient d’une façon systématique avec les inclinaisons des orbites phénomène inhabituel dans les problèmes d’estimation par les moindres carrés.

En principe les coefficients des harmoniques pourraient être séparés d’une façon efficace si l’on pouvait disposer d’orbites présentant une grande répartition en demi-grands axes. Ce procédé est assez limité, il permet cependant de déterminer J ₂, J ₄, J ₆ avec une bonne certitude.