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Anfangsgründe der Flächentheorie

  • W. Blaschke
  • Kurt Leichtweiß
Part of the Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 1)

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel waren die bekanntesten Lehren aus der Krümmungstheorie der Kurven zusammengestellt worden. Im dritten Kapitel hatten wir uns zur Vorbereitung auf die Fragen der Flächentheorie mit den Flächenstreifen beschäftigt. Jetzt wollen wir mit der Lehre von der Krümmung der Flächen beginnen, wie sie nach den ersten Untersuchungen von L. Euler (1707–1783), dann insbesondere von G. Monge (1746–1818) in seinem klassischen Werk „L’application de l’analyse à la géometrie“ begründet worden ist, das 1795 zu erscheinen begonnen hat. Die tiefergehenden Gedanken von Gauß „Disquisitiones circa superficies curvas“ (1827) werden in dem vorliegenden Kapitel nur zum geringen Teil verwertet und bilden die Grundlage des 6. Kapitels. Die Flächentheorie ist ungleich vielgestaltiger und anziehender als die Theorie der Kurven, bei der alles Wesentliche schon in den Formeln von Frenet steckt.

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Notes

  1. 1.
    Diese Behauptung ist ohne den Klammerzusatz falsch, wie das Gegenbeispiel von ebenen Kurven zeigt!Google Scholar
  2. 1.
    Wie wir später sehen werden, sind die g ij die Komponenten eines „zweifach kontravarianten Tensors“, welche sich nach dem zu (8 a) „inversen“ Gesetz \(g^{kl*}=g^{ij}\frac{\partial u^{k*}}{\partial u^i}\frac{\partial u^{l*}}{\partial u^j}\) transformieren.Google Scholar
  3. 1.
    Baltzer, R.: Ableitungen der Gaußschen Formeln für die Flächenkrümmung. Leipziger Ber., math.-phys. Klasse 18, 1–6 (1866).Google Scholar
  4. 2.
    Vgl. Stäckel, P.: Materialien für eine wissenschaftliche Biographie von Gauß, V: Gauß als Geometer (1918), bes. S. 120–125. Ferner im folgenden § 82.Google Scholar
  5. 1.
    Eine geometrische Erklärung der „Oberfläche“ entsprechend der der Bogenlänge in Kap. 1 findet man etwa bei H. Bohr und J. Mollerup, Mathematisk Analyse II, S. 366. Kopenhagen 1921.Google Scholar
  6. 1.
    Diese Integrierbarkeitsbedingungen werden dadurch erhalten, daß (153) mit i = 1 unter Einsetzung von sich selbst nach u 2 differenziert wird, daß von der entstehenden Gleichung die entsprechende Gleichung mit vertauschten Indizes 1 und 2 subtrahiert wird und daß dann schließlich die Koeffizienten der Unbekannten z l gleich Null gesetzt werden.Google Scholar
  7. 1.
    Hierbei ist A1 2) durch \(A(\Phi^1_2)(\mathfrak{v},\mathfrak{w},\mathfrak{B})=\Phi^1_2(\mathfrak{w},\mathfrak{v},\mathfrak{B})\) für alle v,w,B definiertGoogle Scholar
  8. 1.
    Jacobi, C. G. J.: Werke VII, S. 356.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1973

Authors and Affiliations

  • W. Blaschke
  • Kurt Leichtweiß
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut BUniversität StuttgartDeutschland

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