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Kurventheorie

  • W. Blaschke
  • Kurt Leichtweiß
Part of the Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 1)

Zusammenfassung

Eine räumliche Kurve kann man dadurch festlegen, daß man die rechtwinkligen Koordinaten x 1,x 2,x 3 eines Kurvenpunktes r als Funktionen eines reellen Parameters t mit α < t < β (α ≥ - , β ≤ + ) angibt:
$${{\text{x}}_i}{\text{ = }}{{\text{x}}_i}({\text{t)}}{\text{ }}{\text{(i = 1, 2, 3) oder zusammengefa}}\beta {\text{t }}\mathfrak{r} = \mathfrak{r}\left( t \right).$$
. Es soll dabei von den Funktionen x i zunächst vorausgesetzt werden, daß sie einmal stetig differenzierbar sind. Natürlich dürfen unsere Funktionen außerdem nicht alle drei konstant sein, sonst schrumpft die Kurve auf einen einzelnen Punkt zusammen. Wir wollen sogar annehmen, daß an keiner Stelle t 0 alle Ableitungen der drei Funktionen gleichzeitig verschwinden, ein Fall, der seinen Grund sowohl in der Parameterdarstellung wie auch in einem besonderen Verhalten der Kurve an der Stelle t 0 haben kann.

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Notes

  1. 1.
    Die Differentiation nach der Bogenlänge pflegt man (im Gegensatz zur Differentiation nach einem beliebigen Parameter) mit einem Strich anzuzeigen.Google Scholar
  2. 1.
    Vgl. Darboux, G.: Théorie des surfaces, Bd. I, Kap. I. Paris: Gauthier-Villars 1887. Dieses Werk von Darboux, das 4 Bände umfaßt, ist noch heute als eins der schönsten und reichhaltigsten Werke über Differentialgeometrie anzusehen. Gaston Darboux wurde 1842 in Nîmes geboren. Mit 18 Jahren kam er nach Paris. An dem geistigen Leben dieser Stadt hat er dann 57 Jahre lang hervorragenden Anteil gehabt. Schon als Student der École polytechnique und der École Normale erregte er durch seine mathematische Begabung Aufsehen. Sehr bald kam er zu Ämtern und Ehren. 1880 wurde er der Nachfolger von Chasles auf dem Lehrstuhl für Geometrie an der Sorbonne, vier Jahre später wurde er zum Membre de l’Institut ernannt. Seine besondere Lehrbefähigung machte Darboux zum Vater einer ausgedehnten geometrischen Schule in Frankreich. Über Leben und Werk von Darboux vergleiche man: Voss, A.: Jahrbuch d. Kgl. bay. Ak. d. Wiss. 1917, S. 26–53, oder Jahresber. d. D. Math. Ver. 27, 196 bis 217 (1918). Ferner: Eisenhart, L. P., Hilbert, D.: Acta mathematica 42, 257–284 und 269–273 (1920). Schließlich sei noch auf den zum Teil autobiographischen Vortrag von Darboux hingewiesen, den er vor dem römischen Mathematikerkongreß 1908 gehalten hat. Atti del congresso I, S. 105–122.zbMATHGoogle Scholar
  3. 1.
    Andere Beweise bei: Mukhopadhyaya: Bull. Calcutta Math. Soc. Bd. 1, 1909; Kneser, A.: H. Weber-Festschrift S. 170–180. Leipzig u. Berlin, 1912; Blaschke, W.: Rendiconti di Palermo 36, 220–222 (1913); Mohrmann, H.: Ebenda 37, 267–268 (1914); Barner, M., Flohr, F.: Der Mathematikunterricht, Heft 4 (1958).Google Scholar
  4. 1.
    Bertrand, J.: Mémoire sur la théorie des courbes à double courbure. Paris, Comptes Rendus 36 (1850) und Liouvilles Journal (1) 15, 332–350 (1850).Google Scholar
  5. 1.
    Vessiot, E.: Comptes Rendus 140, 1381–1384 (1905); Study, E.: Zur Differentialgeometrie der analytischen Kurven. Trans. Amer. Math. Soc. 10, 1–49 (1909). In dieser Arbeit werden die komplexen Kurven systematisch studiert.zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1973

Authors and Affiliations

  • W. Blaschke
  • Kurt Leichtweiß
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut BUniversität StuttgartDeutschland

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