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Fermi-Statistik der Kristallelektronen

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Elektronische Halbleiter

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Zusammenfassung

Wie schon auf S. 367 angekündigt, soll im vorliegenden Kapitel der Zusammenhang zwischen der Lage des Fermi-Niveaus E F und der Konzentration n der Elektronen für einige Modelle durchgerechnet werden.

An erratum to this chapter is available at http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-48244-1_14)

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Literatur

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  7. Die Besetzung des Leitungsbandes allein gehört übrigens zu dem normalen Aufgabentyp. Die Quantenzustände des Leitungsbandes resultieren ja aus einem Ein-Elektronen-Problem mit festem Potential, das man sich von vornherein derart gewählt denkt, daß es die elektrostatischen Wirkungen der vielen, später in diesen Quantenzuständen unterzubringenden Elektronen berücksichtigt (self consistent potential). Deshalb kann unten auf S. 414 und 429 die selbstverständlich auch bei Zuständen des Leitungsbandes vorhandene Möglichkeit der Spinumpolung einfach durch einen Faktor 2 vor der Zahl dieser Zustände berücksichtigt werden.

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  12. Von dieser Gleichung (VIII 1.41), in die natürlich f(E j ) und f Don(E D ) gemäß (VIII 1.38) und (VIII 1.39) einzusetzen wären, müßte man ausgehen, wenn man den Anteil der Elektronen an der spezifischen Wärme des Kristalls untersuchen wollte. Das wird in diesem Buche aber nicht geschehen. Siehe hierzu vielleicht J. M. Ziman: Electrons and Phonons, Oxford: Clarendon Press 1962, S. 105 u. 114–127.

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  15. Zu Beginn eines solchen Abtrennprozesses sind freilich die beiden Elektronen völlig gleichberechtigt. Wie aus der Theorie des Heliumatoms bekannt, schirmt jedes dieser beiden Elektronen die Ladung des doppelt positiv geladenen Kerns nur teilweise gegenüber dem andern Elektron ab. Das entweichende Elektron muß deshalb zunächst gegen eine Coulomb-Anziehung angehen, die zwischen +1e und + 2e liegt. Je weiter es sich aber entfernt, desto enger gruppiert sich das zurückgebliebene Elektron um den Rumpf und um so mehr schirmt es dessen Ladung +2e auf +1e in der Wirkung auf das entweichende und schon weiter entfernte Elektron ab. Bei der Abtrennung des zweiten Leuchtelektrons ist dagegen von Anfang bis zu Ende die volle Attraktion + 2e zu überwinden.

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  16. Armstrong, J. A., W. W. Tyler u. H. H. Woodbury; Bull. Amer. Phys. Soc. Ser. II Vol. 2 (1957) S. 265.

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  17. Zur Statistik mehrfach ionisierbarer Störstellen siehe auch: Landsberg, P. T.: Proc. phys. Soc., Lond. A 65 (1952) 604.

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  20. Siehe hierzu die überaus instruktiven Darlegungen zur barometrischen Höhenformel von R. Becker: Vorstufe zur theoretischen Physik, Berlin/Göttingen/Heidelberg: Springer 1950, S. 137.

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  21. Siehe aber Fußnote 1, S. 421.

    Google Scholar 

  22. Die folgenden Ausführungen lassen sich mit einigen Vorzeichenänderungen auf Defektelektronen übertragen. Siehe S. 542 und 543.

    Google Scholar 

  23. Es ist bei diesen Begriffen nicht üblich, zwischen „Potential“ und „potentieller Energie“ zu unterscheiden. In der Mechanik geschieht dies aber auch nicht, und so stellt das Vorgehen in der Elektrostatik gewissermaßen den Sonderfall dar. Im übrigen stammen die Begriffe chemisches und elektrochemisches Potential aus der Thermodynamik. Dort wird die Gleichgewichtsbedingung: elektrochemisches Potential = const aus dem zweiten Hauptsatz abgeleitet. Siehe hierzu W. Schottky u. H. Rothe: Physik der Glühelektroden in Wien-Harms: Handbuch der Experimentalphysik, Bd. XIII, Tl. 2, Leipzig: Akad. Verlagsges. 1928, S. 18, Gl. (5).

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  27. Die Gedankengänge dieser Arbeiten verallgemeinert C. Wagner in Z. phys. Chem. Abt. B 11 (1931) 139

    Google Scholar 

  28. und vor allem in C. Wagner Z. phys. Chem. Abt. B 21 (1933) 25, indem er die funktionale Abhängigkeit des chemischen Potentials ζ von der Konzentration offen läßt. Er erhält deshalb auch die Beziehung zwischen der Stromdichte (bzw. Wanderungsgeschwindigkeit) und dem Gradienten des elektrochemischen Potentials in allgemeiner Form [siehe Z. phys. Chem. Abt. B 21 (1933) 29, Gl. (6)].

    Google Scholar 

  29. Ebenfalls in allgemeiner Form hat W. Schottky in Wiss. Veröff. Siemens-Werke XIV (1935) Heft 2, S. 1 [insbesondere S. 4. Gln. (1), (1′), (2), (2′) und S. 12, Gl. (15)] die Proportionalität zwischen der Stromdichte und dem Gradienten des elektrochemischen Potentials gefunden.

    Google Scholar 

  30. Das gleiche gilt schließlich für C. Herring und M. H. Nichols in Rev. of Modern Physics XXI (1949) 185 [insbesondere S. 196, Gl. (I 6.2)].

    Google Scholar 

  31. In M. H. Nichols Bell Syst. techn. J. 28 (1949) 435 behandelt W. Shockley den Fall des Maxwell-Gases und führt hier die elektrochemischen Potentiale der Elektronen und Defektelektronen in Form der „quasi fermi levels“ oder „imrefs“ ein, wodurch er die Proportionalität des Gesamtstroms der betreffenden Teilchensorten mit dem Gradienten eines verallgemeinerten Potentials — eben des elektrochemischen Potentials — nachweisen kann (loc. cit., S. 451, Gl. (3.5)).

    Google Scholar 

  32. Siehe hierzu auch J. S. Blakemore: Semiconductor Statistics, Oxford/ London/New York/Paris: Pergamon Press 1962, namentlich S. 187–189. Weiter siehe hierzu auch Kap. XI, § 6, des vorliegenden Buches.

    MATH  Google Scholar 

  33. Bezüglich dieses Begriffs s. S. 16–19.

    Google Scholar 

  34. Bezüglich des Falles extrem hoher Temperaturen siehe weiter unten S. 430 f.

    Google Scholar 

  35. Bezüglich des in Abb. VIII 5.1 nur schematisch angedeuteten D(E)-Verlaufs s. S. 430, Fußnote 1, und S. 434, Fußnote 1.

    Google Scholar 

  36. Wegen dieser Temperaturunabhängigkeit reicht die Näherung (XII 2.03) nicht aus bei Fragen der spezifischen Wärme des Elektronengases.

    Google Scholar 

  37. Siehe hierzu auch S. 578, oben.

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  38. Siehe z. B. F. Herman: Phys. Rev. 88 (1952) 1210, wo für das Valenzband des Diamants eine Breite von 22 eV errechnet wird.

    Article  ADS  Google Scholar 

  39. Bezüglich dieses Begriffs s. S. 16–19.

    Google Scholar 

  40. Dies war zwar im soeben betrachteten Fall der Abb. VIII 5.1 im Prinzip auch schon der Fall. Die Zahl der unbesetzten Plätze oder „Löcher“ im Valenzband II spielt dort aber praktisch gar keine Rolle gegenüber den Elektronenzahlen im Leitungsband III.

    Google Scholar 

  41. Strenggenommen müßten auch die Löcher in der Elektronenbesetzung des Bandes I berücksichtigt werden. Ihre Anzahl ist aber wieder vernachlässigbar klein.

    Google Scholar 

  42. Hierbei verschwindet natürlich am oberen Bandrand E = E v die Zustandsdichte D(E). Siehe hierzu auch Fußnote 1 auf S. 430.

    Google Scholar 

  43. Siehe Gl. (13.04).

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  44. Siehe hierzu auch J. S. Blakemore: Semiconductor Statistics, Oxford/ London/New York/Paris: Pergamon Press 1962.

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  45. Sehr grundsätzliche Ausführungen zur Halbleiterstatistik macht W. Schottky in „Halbleiterprobleme“, Bd. I, Braunschweig: Vieweg 1954, S. 139–226.

    Book  MATH  Google Scholar 

  46. Siehe Kap. II, §8, namentlich Abb. II 8.1 und II 8.2.

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  47. Wenn die Elektronenkonzentration den Wert N 0 überschreitet und Entartung eintritt, also bei ganz starken Dotierungen, ergeben sich eine Reihe von Komplikationen. Siehe hierzu Kap. VIII, § 7, S. 456.

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  48. Weitere derartige Untersuchungen siehe H. Müser: Z. Naturforsch. 5a (1950) 18.

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  49. Seiler, K.: Z. Naturforsch. 5a (1950) 393.

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  51. Shockley, W.: Electrons and Holes in Semiconductors, New York: D. van Nostrand 1950, S. 465ff.

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  52. Vergleichen wir (VIII 6.17) mit (VIII 1.44), so sehen wir, daß sich das Kontinuum der besetzbaren Zustände im Leitungsband effektiv verhält wie N 0 Zustände pro cm3 mit einem einheitlichen Energieniveau E 0 Dies war für Shockley der Grund, für N 0 die Bezeichnung „effektive Zustandsdichte“ zu wählen. (Siehe W. Shockley: Electrons and Holes in Semiconductors, New York: D. van Nostrand 1950, S. 240.) Siehe hierzu auch Fußnote 1 auf S. 415.

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  53. Siehe hierzu W. Schottky: Z. Elektrochem. 45 (1939) 33

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  54. A. Hoffmann in Bd. VI der „Halbleiterprobleme“, herausgegeben von F. Sauter, Braunschweig: Vieweg 1961, namentlich Abb. 19 von Morin und Burton auf S. 175.

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  56. Wir gehen hier also doch wieder statistisch vor! Der Ausgangspunkt (VIII 6.49) der jetzigen Ableitung ist aber thermodynamischer Natur.

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  57. Hierzu siehe auch Kap. II, § 4, Schluß, S. 48 ff.

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  1. Siemens-Schuckertwerke A. G., Pretzfeld/Oberfranken, Deutschland

    Dr. Eberhard Spenke (Abteilungsdirektor)

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Spenke, E. (1965). Fermi-Statistik der Kristallelektronen. In: Elektronische Halbleiter. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-48244-1_8

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