Zur Differentialgeometrie der klassischen Fundamentalbereiche

Zusammenfassung

Im folgenden soll allgemein¹

$$ \Omega = {\Omega_{{pq}}} = {\left[ {{w_{{ik}}}} \right]_{{pq}}}\quad \left( {{w_{{ik}}}\,komplex} \right) $$

(1.1)

eine Matrix mit p Zeilen und q Spalten bedeuten. Ist p=q, so wird für Ω _qq auch Ω _q bzw. [ω _ik ] _q geschrieben. Ferner wird gesetzt

$$ \Omega ' = {\Omega '_{{pq}}} = {\left[ {{\omega_{{ik}}}} \right]^{\prime }}_{{pq}} = {\left[ {{{\omega '}_{{ik}}}} \right]_{{pq}}}\quad \left( {{{\omega '}_{{ik}}} = {\omega_{{ki}}}} \right) $$

(1.2)

und Ω′ die Transponierte von Ω genannt. Ist Ω _q = [ω _ik ] _q eine quadratische Matrix, so wird für die Determinante det Ω bzw. det [ω _ik ] _q (auch |ω _ik | _q bzw. ω) geschrieben. Das algebraische Komplement von ω _i in [ω _ik ] _q wird allgemein durch ω ̆ _ik bezeichnet. Bekanntlich gelten zwischen den Elementen ω _ik und ω ̆ _ik von ω und ω̆= [ω ̆ _ik ] _q die Beziehungen

$$ \sum\limits_{{\mu = 1}}^q {{\omega_{{i\mu }}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{j\mu }}} = } \sum\limits_{{\mu = 1}}^q {{\omega_{{\mu i}}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{\mu j}}} = {\varepsilon_{{ij}}}\omega } $$

(1.3)

wobei [ε _ik ] _q die Einheitsmatrix E _q bedeutet. Demnach gilt (Cauchy)

$$ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }} = {\left| {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{ik}}}} \right|_q} = \left| {{\omega_{{ik}}}} \right|_q^{{q - 1}} = {\omega^{{q - 1}}} $$

(1.4)

Allgemeiner gilt (Jacobi) für 1≦m≦q ²

$$ \left| \begin{gathered} {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{{i_1}{j_1}}}} \cdots {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{{i_1}jm}}} \hfill \\ \cdot \quad \cdots \quad \cdot \hfill \\ {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{{i_m}{j_1}}}} \cdots {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{{i_m}{j_m}}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = {\omega^{{m - 1}}}\frac{{{\partial^m}\omega }}{{\partial {\omega_{{{i_1}{j_1}}}} \cdots \partial {\omega_{{{i_m}{j_m}}}}}} $$

(1.5)

Der Spezialfall m=2, d.h. die Identität

$$ \left| \begin{gathered} {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{i\mu }}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{iv}}} \hfill \\ {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{k\mu }}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\omega }}}_{{kv}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \omega \frac{{{\partial^2}\omega }}{{\partial {\omega_{{i\mu }}}\partial {\omega_{{kv}}}}} $$

(1.6)

Spielt bei den entwicklungen von 3 eine Rolle.