Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Meister Zufall hängt (oft) ab

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lernen wir mit den Begriffsbildungen bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit zwei grundlegende Konzepte der Stochastik kennen. Bedingte Wahrscheinlichkeiten dienen in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten insbesondere als Bausteine bei der Modellierung mehrstufiger stochastischer Vorgänge über die erste Pfadregel. Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten komplizierter Ereignisse bestimmen, indem man eine Zerlegung nach sich paarweise ausschließenden Ereignissen durchführt und eine gewichtete Summe von bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die Bayes-Formel ist ein schlagkräftiges Mittel, um Wahrscheinlichkeitseinschätzungen unter dem Einfluss von zusätzlicher Information neu zu bewerten. Stochastisch unabhängige Ereignisse üben wahrscheinlichkeitsheoretisch keinerlei Einfluss aufeinander aus. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit lässt sich unmittelbar auf Mengensysteme und damit auch auf Zufallsvariablen mit allgemeinen Wertebereichen übertragen: Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn die durch sie beschreibbaren Ereignisse unabhängig sind. Hinreichend reichhaltige Wahrscheinlichkeitsräume enthalten eine ganze Folge unabhängiger Ereignisse mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten. Markov-Ketten beschreiben stochastische Systeme, deren zukünftiges Verhalten nur vom gegenwärtigen Zustand und nicht der Vergangenheit abhängt. Unter gewissen Voraussetzungen strebt die Verteilung einer Markov-Kette exponentiell schnell gegen eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung, die das Langzeitverhalten der Markov-Kette charakterisiert.