Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen – Schritt für Schritt zur Trajektorie

Zusammenfassung

Bereits innerhalb der Kapitel 2 und 3 haben wir uns mit der Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen befasst und deren Relevanz für die mathematische Beschreibung realer Phänomene angesprochen. Es zeigte sich dabei auch, dass die analytische Lösung einer Differenzialgleichung respektive eines Systems von Differenzialgleichungen an spezielle Typen gebunden ist. Viele Anwendungsprobleme führen jedoch auf Gleichungen, die einer expliziten Lösung nicht mehr zugänglich sind. Diese Tatsache gilt dabei sowohl für den Fall, dass das mathematische Modell eine gewöhnliche Differenzialgleichung darstellt, als auch für die Betrachtung partieller Differenzialgleichungen. Letztere finden ihre Anwendungen in zahlreichen Bereichen wie der Ozeanographie, der Aerodynamik, der Wetterprognose, der Dynamik von Bauwerken und vielem mehr und sind aus unserer heutigen Welt nicht mehr wegzudenken. Die Lösung solcher aufwendigen Problemstellungen wird durch numerische Methoden vorgenommen. Innerhalb partieller Differenzialgleichungssysteme werden häufig sogenannte Linienmethoden eingesetzt, bei denen im ersten Schritt die räumlichen Ableitungen geeignet approximiert werden und anschließend ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen vorliegt, das durchaus eine Million unbekannte Größen aufweisen kann. Folglich sind die in diesem Abschnitt vorgestellten und analysierten Verfahren unabhängig von der Betrachtung gewöhnlicher oder partieller Differenzialgleichungen von zentraler Bedeutung.