Hilberträume – fast wie im Anschauungsraum

Zusammenfassung

Die doppelte Bedeutung des Namens Hilbertraum für das Foyer des Mathematischen Instituts in Göttingen, siehe Titelfoto, erschließt sich dem Studierenden erst nach drei bis vier Semestern. Denn zunächst müssen Begriffe wie Vektorraum, Skalarprodukt und Vollständigkeit nachvollziehbar sein, bevor man sich mit diesen Räumen sinnvoll beschäftigen kann. Bereits in der linearen Algebra und bei der Betrachtung metrischer Räume fällt auf, dass Vektorräume, die mit einem Skalarprodukt ausgestattet sind, weitreichende Möglichkeiten aufweisen. Da mit dem Skalarprodukt stets auch eine Norm gegeben ist, handelt es sich um spezielle normierte Räume. Ist ein solcher euklidischer Vektorraum zusätzlich vollständig, so spricht man von einem Hilbertraum. Viele letztendlich geometrische Aspekte, die aus der linearen Algebra im ℝⁿ bekannt sind, lassen sich in Hilberträumen wiederfinden. Dies macht diese Räume zu reichhaltigen Strukturen in Hinblick auf die Funktionalanalysis.