Funktionalanalysis – Operatoren wirken auf Funktionen

Zusammenfassung

In den Kapiteln des vierten Teils des Buches sind wir immer wieder auf das Phänomen gestoßen, dass Begriffe und Konzepte aus der linearen Algebra in die Analysis übertragen werden und so zu neuen Ergebnissen führen. Beispiele sind Fundamentalsysteme bei Differenzialgleichungen, die nichts anderes sind als Basen der Lösungsräume, oder die Verbindung zwischen den Lösungsmengen von linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und den Eigenwertproblemen.

Die Funktionalanalysis schafft für beide Gebiete, Analysis und lineare Algebra, ein gemeinsames Dach, indem sie die Begriffe der Vektorräume und der linearen Abbildungen verwendet, um Operationen wie das Differenzieren und das Bilden von Integralen zu beschreiben. Die Methoden der linearen Algebra führen allerdings allein nicht zum Ziel, da die für die Analysis interessanten Räume von unendlicher Dimension sind. Als zusätzliches Mittel aus der Analysis stehen aber die Begriffe des Grenzwerts und der Vollständigkeit zur Verfügung.

Betrachten wir nun beispielsweise Randwertprobleme in dieser Art und Weise, so erhalten wir allgemeinere Formulierungen der Problemstellungen, die auch neue Typen von Lösungen zulassen. Diese Lösungen haben merkwürdige Eigenschaften, sie sind zum Beispiel nicht überall differenzierbar.