Partielle Differenzialgleichungen – Modelle von Feldern und Wellen

Zusammenfassung

Die Bedeutung von Differenzialgleichungen in Naturwissenschaft und Technik ist schon in den Kap. 13 und 28 angeklungen. Selbstverständlich sind in vielen Modellen aber nicht nur Funktionen einer unabhängigen Variablen zu betrachten. Entsprechend müssen im Allgemeinen partielle Ableitungen berücksichtigt werden. Differenzialgleichungen, bei denen partielle Ableitungen in Relation zueinander gestellt werden, nennt man partielle Differenzialgleichungen.

Es stellt sich heraus, dass viele grundlegende Theorien wie etwa die Elektrodynamik oder die Elastizitätstheorie durch partielle Differenzialgleichungen formuliert werden. Wir sind somit an einer entscheidenden Nahtstelle zwischen Mathematik und ihren Anwendungen angekommen. Leicht stößt man auf noch offene Fragen bei diesen Modellen. So bilden die partiellen Differenzialgleichungen ein aktuelles Forschungsfeld, in dem sich stärker als in anderen Bereichen Mathematik und Anwendungen verzahnen. Auch wenn wir hier die Vielschichtigkeit der mathematischen Aspekte nicht darstellen können, versuchen wir in die Welt der partiellen Differenzialgleichungen einzutauchen und eine Orientierung zu geben.