Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln

Zusammenfassung

Die Vektoranalysis ist ein Gebiet, das für naturwissenschaftliche und technische Anwendungen von immenser Bedeutung ist. Erfreulicherweise sind die zentralen Begriffe, mit denen wir es in diesem Kapitel zu tun haben werden, Skalar- und Vektorfelder, keineswegs neu. Im Prinzip haben wir sie, noch dazu in größerer Allgemeinheit, bereits mit den Abbildungen $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ vollständig abgehandelt.

Dennoch lohnt es sich, hier noch einmal genauer hinzusehen und die Folgerungen zu untersuchen, die sich ergeben, wenn man die Vektorrechnung mit der Analysis, vor allem Differenzial- und Integralrechnung verknüpft.

Einerseits werden wir verschiedene Differenzialoperatoren definieren, die speziell auf Skalar- und Vektorfelder zugeschnitten sind. Andererseits können wir solche Felder auch integrieren. Die Integrationsbereiche sind hier zumeist Kurven und Flächen – und wir werden unsere Kenntnisse aus Kap. 26 gut gebrauchen können.

Die Anwendungen sind insbesondere in Strömungsmechanik und Elektrodynamik offensichtlich, und wir werden auch immer wieder Beispiele und Veranschaulichungen aus diesen Bereichen benutzen. Doch generell taucht die Vektoranalysis in verschiedensten Bereichen naturwissenschaftlich-technischer Anwendungen auf.