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Graphenbasierte Löser

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel stellen wir den Zusammenhang zwischen der Cholesky-Zerlegung von Matrizen und allgemeinen Eliminationsprozessen auf Graphen her. Dieser Zusammenhang wird dann verwendet, um eine effiziente Cholesky-Zerlegung für dünnbesetzte Matrizen zu konstruieren, wie sie etwa bei der Diskretisierung der Poisson-Gleichung auf dem Einheitsquadrat entstehen.

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Abb. 9.1

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Correspondence to Helmut Harbrecht .

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben

Aufgabe 9.1

(LR-Zerlegung) Berechnen Sie für folgende zwei Matrizen die LR-Zerlegung ohne Pivotisierung:

$$ {{\boldsymbol{A}}} = \begin{bmatrix} 2 &{} 2 &{} 2 &{} 2 &{} 2 &{} 2 \\ 2 &{} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 \\ 2 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 \\ 2 &{} 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 \\ 2 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 \\ 7 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 1 \end{bmatrix},\quad {{\boldsymbol{B}}} = \begin{bmatrix} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 7 \\ 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 2 \\ 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 &{} 2 \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 1 &{} 0 &{} 2 \\ 0 &{} 0 &{} 0 &{} 0 &{} 1 &{} 2 \\ 2 &{} 2 &{} 2 &{} 2 &{} 2 &{} 2 \end{bmatrix}. $$

Zeichnen Sie auch jeweils die zugehörigen Graphen \(G_{{\boldsymbol{A}}}\) und \(G_\mathbf{B}\).

Aufgabe 9.2

(symmetrische Permutationen) Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

$$ {{\boldsymbol{A}}}{{\boldsymbol{u}}}=\begin{bmatrix} 5&{} 0&{} -1&{} 3&{} 0\\ 0&{} 1&{} 0&{} 0&{} -1\\ 2&{} 0&{} -2&{} 2&{} 0\\ -1&{} 0&{} 2&{} 1&{} 0\\ 0&{} 1&{} 0&{} 0&{} 1 \end{bmatrix} {{\boldsymbol{u}}} = \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}. $$
  1. a)

    Geben Sie den zur Matrix \({{\boldsymbol{A}}}\) gehörigen Graphen \(G_{{\boldsymbol{A}}}\) an.

  2. b)

    Berechnen Sie für \(G_{{\boldsymbol{A}}}\) die starken Zusammenhangskomponenten, um herauszufinden, ob die Matrix \({{\boldsymbol{A}}}\) reduzibel ist.

  3. c)

    Lösen Sie nun mit Hilfe der gefundenen starke Zusammenhangskomponenten durch geschickte Wahl von Permutationsmatrizen das Gleichungssystem. Wenden Sie dabei nur symmetrische Permutationen an.

Aufgabe 9.3

(Anzahl Kanten) Sei \(G = (V,E)\) ein ungerichteter Graph mit \(n= |V| \ge 3\) Knoten. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen gelten:

  1. a)

    Es gilt

    $$\begin{aligned} |E| = \frac{1}{n-2} \sum _{v \in V} |E'(v)|, \end{aligned}$$

    wobei \(G'(v) = \big (V'(v),E'(v)\big )\) denjenigen Graphen bezeichne, der aus G durch Streichung von v sowie aller an v anliegenden Kanten entsteht.

  2. b)

    Falls \(n > 3\) und \(|E| > {n^2}/4\) gilt, so gibt es einen Knoten \(v \in V\) derart, dass \(G'(v)\) mehr als \({(n-1)^2}/4\) Kanten besitzt.

  3. c)

    Falls G mehr als \({n^2}/4\) Kanten hat, so gibt es in G ein Dreieck, das heißt einen Zyklus der Länge 3.

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Harbrecht, H., Multerer, M. (2022). Graphenbasierte Löser. In: Algorithmische Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-41952-2_9

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