Matrixapproximationsverfahren

Zusammenfassung

Dieses Kapitel bietet einen Exkurs zur Niedrigrangapproximation von Matrizen. Dazu betrachten wir zunächst die Singulärwertzerlegung, mit deren Hilfe die bestmögliche Niedrigrangapproximation bestimmt werden kann. Anschließend führen wir die adaptive Kreuzapproximation und die pivotisierte Cholesky-Zerlegung ein. Beide Verfahren dienen der Approximation großer, vollbesetzter Matrizen, ohne dass diese Matrizen explizit aufgestellt werden müssen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 8.1

(Abschätzung der Spektralnorm) Beweisen Sie für Matrizen ${{\boldsymbol{A}}}\in \mathbb {R}^{n\times n}$ die Abschätzung der Spektralnorm

$$ \Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _{2}^2\le \Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _1\Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _\infty . $$

Aufgabe 8.2

(Abschätzung der Spektralnorm) Berechnen Sie die Singulärwertzerlegung der Matrix

$$ {{\boldsymbol{A}}} = \begin{bmatrix} 9 &{} 8 &{} 12 \\ 12 &{} -6 &{} 16 \end{bmatrix}. $$

Aufgabe 8.3

(Niedrigrangapproximation) Es sei ${{\boldsymbol{A}}}\in \mathbb {R}^{m\times n}$.

• a) Zeigen Sie, dass es zu jedem $k<{{\,\mathrm{rang}\,}}{{\boldsymbol{A}}}$ eine Matrix ${{\boldsymbol{A}}}_k\in \mathbb {R}^{m\times n}$ vom Rang $k$ gibt, so dass

  $$ \Vert {{\boldsymbol{A}}}-{{\boldsymbol{A}}}_k\Vert _2=\sigma _{k+1}. $$

• b) Zeigen Sie, dass es zu jedem $k<{{\,\mathrm{rang}\,}}{{\boldsymbol{A}}}$ eine Matrix ${{\boldsymbol{A}}}_k\in \mathbb {R}^{m\times n}$ vom Rang $k$ gibt, so dass

  $$ \Vert {{\boldsymbol{A}}}-{{\boldsymbol{A}}}_k\Vert _F =\sqrt{\sum _{\ell =k+1}^{{{\,\mathrm{rang}\,}}{{\boldsymbol{A}}}}\sigma _{\ell }^2}. $$

Aufgabe 8.4

(Spurnorm) Zeigen Sie, dass die Spurnorm $\Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _{\text {tr}}\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}\sum _{i=1}^n a_{i,i}$ tatsächlich eine Norm auf der Menge der symmetrischen, positiv semidefiniten $(n\times n)$-Matrizen definiert. Überlegen Sie sich weiterhin, dass $\Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _2\le \Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _{\text {tr}}\le n\Vert {{\boldsymbol{A}}}\Vert _2$ gilt.